Номер 129, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

129 Укажите промежутки убывания функции $y = \frac{5}{x+4}$.

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) $(-\infty; -4)$;

3) $(-4; +\infty)$;

4) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых она отрицательна.

Заданная функция: $y = \frac{5}{x+4}$.

1. Найдём область определения функции.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю.$x + 4 = 0 \implies x = -4$.Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
Для нахождения производной можно использовать правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представить функцию в виде $y = 5(x+4)^{-1}$ и использовать правило для степенной функции. Воспользуемся вторым способом:$y' = (5(x+4)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x+4)^{-2} \cdot (x+4)' = -5(x+4)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x+4)^2}$.

3. Определим знак производной.
Проанализируем выражение для производной $y' = -\frac{5}{(x+4)^2}$:

• Числитель дроби равен -5, что является отрицательным числом.
• Знаменатель $(x+4)^2$ — это квадрат выражения, поэтому он всегда положителен для любого $x$ из области определения (то есть при $x \neq -4$).

Таким образом, производная $y'$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, она всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей области определения функции.

4. Сделаем вывод.
Поскольку производная функции отрицательна на всей своей области определения, функция убывает на каждом из интервалов, составляющих эту область. Промежутками убывания являются $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$. В ответе требуется указать все промежутки, что соответствует объединению этих интервалов.

Ответ: 4) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.