Номер 130, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

130 Укажите промежутки возрастания функции $y = -\frac{7}{x - 1}$.

1) $(-\infty; 1)$;

2) $(1; +\infty)$;

3) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$;

4) $(-\infty; +\infty)$.

Для определения промежутков возрастания функции $y = -\frac{7}{x-1}$ необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых эта производная положительна. Функция возрастает там, где её производная больше нуля.

1. Нахождение области определения функции

Функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Для нахождения производной можно представить функцию в виде $y = -7(x-1)^{-1}$ и использовать правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = \left(-7(x-1)^{-1}\right)' = -7 \cdot (-1) \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)'$

$y' = 7 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = \frac{7}{(x-1)^2}$

3. Анализ знака производной

Проанализируем знак полученной производной $y' = \frac{7}{(x-1)^2}$ на всей области определения функции.

Числитель дроби, $7$, является положительным числом.

Знаменатель дроби, $(x-1)^2$, является квадратом выражения. Для любого действительного числа $x$ из области определения (то есть $x \neq 1$), выражение $(x-1)^2$ будет строго положительным.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся производная $y'$ будет положительна на всей области определения:

$y' = \frac{7}{(x-1)^2} > 0$ при всех $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4. Определение промежутков возрастания

Так как производная функции положительна на всей её области определения, функция возрастает на каждом из интервалов, составляющих эту область.

Следовательно, промежутками возрастания функции являются $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов ответа этому соответствует вариант 3, который представляет собой объединение этих двух промежутков.

Ответ: 3) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.