Номер 126, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

126 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 81.

1) $y = \frac{x + 1}{2}$;

2) $y = \frac{2}{x + 1}$;

3) $y = \frac{2}{x} + 1$;

4) $y = \frac{2}{x - 1}$.

Рис. 81

Чтобы найти уравнение гиперболы, изображённой на рисунке, определим её ключевые параметры по графику. Общий вид уравнения гиперболы с асимптотами, параллельными осям координат, — это $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $x=a$ является вертикальной асимптотой, а $y=b$ — горизонтальной.

Из рисунка видно, что вертикальная асимптота (изображена пунктирной линией) — это прямая $x = -1$. Следовательно, $a = -1$. Горизонтальная асимптота совпадает с осью абсцисс, то есть её уравнение $y = 0$. Следовательно, $b = 0$.

Подставляя значения $a$ и $b$ в общую формулу, получаем уравнение вида $y = \frac{k}{x - (-1)} + 0$, что эквивалентно $y = \frac{k}{x + 1}$.

Для определения коэффициента $k$ воспользуемся одной из точек, через которую проходит график. Например, хорошо видна точка с координатами $(0, 2)$, которая принадлежит графику. Подставим её координаты в уравнение: $2 = \frac{k}{0 + 1}$, откуда следует, что $k = 2$.

Таким образом, искомое уравнение данной гиперболы: $y = \frac{2}{x + 1}$.

Теперь проанализируем предложенные варианты, чтобы найти совпадение.

1) $y = \frac{x + 1}{2}$

Это уравнение является уравнением прямой ($y = 0.5x + 0.5$), а не гиперболы. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $y = \frac{2}{x + 1}$

Это уравнение в точности совпадает с уравнением, которое мы вывели на основе анализа графика. У него вертикальная асимптота $x = -1$ и горизонтальная $y = 0$. Этот вариант является правильным.

3) $y = \frac{2}{x} + 1$

Для этой гиперболы вертикальная асимптота — $x = 0$, а горизонтальная — $y = 1$. Это не соответствует графику на рисунке.

4) $y = \frac{2}{x - 1}$

Для этой гиперболы вертикальная асимптота — $x = 1$, а горизонтальная — $y = 0$. Вертикальная асимптота не совпадает с изображённой на графике.

Ответ: 2