Номер 125, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

125 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 80.

1) $xy + 3 = 0$;

2) $xy - 1 = 0$;

3) $xy - 3 = 0$;

4) $y = x^{-1} + 3$.

Puc. 80

На графике, представленном на рисунке, изображена гипербола. Асимптотами этой гиперболы являются оси координат, то есть прямые $x=0$ и $y=0$. Общий вид уравнения такой гиперболы — $y = \frac{k}{x}$ или, в эквивалентной форме, $xy = k$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике произведение координат $x \cdot y$ будет отрицательным. Следовательно, коэффициент $k$ в уравнении $xy = k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).

Для нахождения конкретного значения коэффициента $k$ выберем на графике точку с легко определяемыми целочисленными координатами. Например, график проходит через точку $(1, -3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение $xy = k$:

$1 \cdot (-3) = k$

Отсюда получаем $k = -3$.

Таким образом, уравнение гиперболы, изображенной на рисунке, имеет вид $xy = -3$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов, чтобы найти соответствующий.

1) $xy + 3 = 0$
Перенесем 3 в правую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду: $xy = -3$. Это уравнение полностью совпадает с уравнением, которое мы вывели на основе анализа графика. Следовательно, это правильный ответ.

2) $xy - 1 = 0$
Преобразуем уравнение: $xy = 1$. Здесь коэффициент $k = 1$, что является положительным числом. Такая гипербола была бы расположена в первой и третьей координатных четвертях. Этот вариант не подходит.

3) $xy - 3 = 0$
Преобразуем уравнение: $xy = 3$. Здесь коэффициент $k = 3$, что также является положительным числом. Гипербола располагалась бы в первой и третьей четвертях. Этот вариант не подходит.

4) $y = x^{-1} + 3$
Это уравнение можно переписать в виде $y = \frac{1}{x} + 3$. Данное уравнение описывает гиперболу $y = \frac{1}{x}$, смещенную на 3 единицы вверх вдоль оси $y$. Её горизонтальной асимптотой является прямая $y = 3$, в то время как у гиперболы на рисунке горизонтальная асимптота — это ось абсцисс ($y = 0$). Этот вариант не подходит.

Ответ: 1) $xy + 3 = 0$