Номер 128, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

128 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 83.

1) $y = \frac{2}{x - 1} - 3;$

2) $y = \frac{2}{x - 3} - 1;$

3) $y = \frac{2}{x + 3} - 1;$

4) $y = \frac{2}{x + 1} + 3.$

Рис. 83

График функции является гиперболой. Общее уравнение гиперболы, полученной сдвигом графика функции $y = \frac{k}{x}$ вдоль осей координат, имеет вид: $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где прямые $x = x_0$ и $y = y_0$ являются соответственно вертикальной и горизонтальной асимптотами графика.

По графику, представленному на рисунке, определим положение асимптот. Вертикальная асимптота (вертикальная пунктирная линия) — это прямая $x = 3$. Отсюда следует, что смещение по оси абсцисс $x_0 = 3$. Горизонтальная асимптота (горизонтальная пунктирная линия) — это прямая $y = -1$. Отсюда следует, что смещение по оси ординат $y_0 = -1$.

Подставим найденные значения $x_0$ и $y_0$ в общую формулу уравнения гиперболы:

$y = \frac{k}{x - 3} - 1$

Теперь определим коэффициент $k$. Для этого выберем на графике точку с известными целочисленными координатами, которая не лежит на асимптотах. Например, график проходит через точку с координатами $(5, 0)$. Подставим значения $x=5$ и $y=0$ в полученное уравнение:

$0 = \frac{k}{5 - 3} - 1$

$0 = \frac{k}{2} - 1$

$1 = \frac{k}{2}$

Отсюда находим $k$:

$k = 2$

Таким образом, итоговое уравнение гиперболы, изображённой на рисунке, имеет вид:

$y = \frac{2}{x - 3} - 1$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2.