Номер 121, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

121 Укажите множество значений функции $y = \frac{1}{x} + 2$.

1) $(-\infty; +\infty);$

2) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty);$

3) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$

4) $(2; +\infty).$

Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{1}{x} + 2$, можно использовать два подхода.

Способ 1: Анализ преобразований графика функции

1. Рассмотрим базовую функцию $y_1 = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y_1) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Множество значений базовой функции $y_1 = \frac{1}{x}$ — это все действительные числа, кроме $y_1=0$. Это связано с тем, что дробь $\frac{1}{x}$ никогда не может быть равна нулю, так как ее числитель равен 1. Таким образом, множество значений $E(y_1) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Исходная функция $y = \frac{1}{x} + 2$ получается из базовой функции $y_1 = \frac{1}{x}$ путем прибавления константы 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1 = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси OY).

4. При таком сдвиге каждая точка на графике, и, следовательно, каждое значение функции, увеличивается на 2. Горизонтальная асимптота графика смещается с $y=0$ на $y=2$.

5. Таким образом, новое множество значений получается путем прибавления 2 к каждому значению из множества $E(y_1)$.
Интервал $(-\infty; 0)$ превращается в $(-\infty; 0+2)$, то есть $(-\infty; 2)$.
Интервал $(0; +\infty)$ превращается в $(0+2; +\infty)$, то есть $(2; +\infty)$.

6. Объединяя эти два интервала, получаем множество значений для функции $y = \frac{1}{x} + 2$: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Способ 2: Алгебраический метод

1. Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Попробуем выразить $x$ через $y$ из уравнения функции $y = \frac{1}{x} + 2$.

2. Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$y - 2 = \frac{1}{x}$

3. Теперь, чтобы найти $x$, возьмем обратные величины от обеих частей уравнения. Это можно сделать при условии, что $y-2 \neq 0$.
$x = \frac{1}{y-2}$

4. Полученное выражение для $x$ имеет смысл для любых значений $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Знаменатель равен нулю, когда $y-2=0$, то есть при $y=2$.

5. Следовательно, переменная $y$ может принимать любые действительные значения, кроме 2. Это и есть множество значений исходной функции.

6. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$