Номер 123, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

123 Укажите множество значений функции $y = \frac{4}{x - 8} - 6$.

1) $(-\infty; +\infty);$

2) $(-\infty; 8) \cup (8; +\infty);$

3) $(-\infty; 6) \cup (6; +\infty);$

4) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty).$

Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{4}{x-8} - 6$, необходимо определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$.

Данная функция является преобразованием гиперболы. Её значение складывается из двух частей: дробного слагаемого $\frac{4}{x-8}$ и константы $-6$.

Рассмотрим дробь $\frac{4}{x-8}$. Поскольку её числитель $4$ отличен от нуля, значение этой дроби никогда не может быть равно нулю. Таким образом, это слагаемое может принимать любые действительные значения, кроме нуля.

Значение $y$ получается, когда из значения дроби вычитается $6$. Если бы дробь $\frac{4}{x-8}$ могла принимать значение $0$, то $y$ был бы равен $0 - 6 = -6$. Но так как дробь не может быть равна нулю, то и $y$ никогда не может быть равен $-6$.

Следовательно, множество значений функции — это все действительные числа, кроме $-6$. В интервальной записи это выглядит как $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

Для проверки этого вывода можно выразить $x$ через $y$ из исходного уравнения:
$y = \frac{4}{x-8} - 6$
$y + 6 = \frac{4}{x-8}$
$x - 8 = \frac{4}{y+6}$
$x = \frac{4}{y+6} + 8$
Это уравнение имеет решение для $x$ при любом значении $y$, для которого знаменатель $y+6$ не равен нулю. То есть, при $y \neq -6$.

Сравнивая полученное множество значений с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту 4.

Ответ: 4) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.