Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

123 Укажите множество значений функции $y = \frac{4}{x - 8} - 6$.

1) $(-\infty; +\infty);$

2) $(-\infty; 8) \cup (8; +\infty);$

3) $(-\infty; 6) \cup (6; +\infty);$

4) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty).$

Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{4}{x-8} - 6$, необходимо определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$.

Данная функция является преобразованием гиперболы. Её значение складывается из двух частей: дробного слагаемого $\frac{4}{x-8}$ и константы $-6$.

Рассмотрим дробь $\frac{4}{x-8}$. Поскольку её числитель $4$ отличен от нуля, значение этой дроби никогда не может быть равно нулю. Таким образом, это слагаемое может принимать любые действительные значения, кроме нуля.

Значение $y$ получается, когда из значения дроби вычитается $6$. Если бы дробь $\frac{4}{x-8}$ могла принимать значение $0$, то $y$ был бы равен $0 - 6 = -6$. Но так как дробь не может быть равна нулю, то и $y$ никогда не может быть равен $-6$.

Следовательно, множество значений функции — это все действительные числа, кроме $-6$. В интервальной записи это выглядит как $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

Для проверки этого вывода можно выразить $x$ через $y$ из исходного уравнения:
$y = \frac{4}{x-8} - 6$
$y + 6 = \frac{4}{x-8}$
$x - 8 = \frac{4}{y+6}$
$x = \frac{4}{y+6} + 8$
Это уравнение имеет решение для $x$ при любом значении $y$, для которого знаменатель $y+6$ не равен нулю. То есть, при $y \neq -6$.

Сравнивая полученное множество значений с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту 4.

Ответ: 4) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

124 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 79.

1) $xy = 1$;

2) $y = (x - 2)^{-1}$;

3) $xy = 2$;

4) $xy = 4$.

Рис. 79

На графике изображена гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Общее уравнение такой гиперболы, центр которой находится в начале координат, а асимптотами служат оси координат, имеет вид $xy = k$, где $k$ — некоторая константа. Так как ветви находятся в I и III четвертях, коэффициент $k$ должен быть положительным.

Для нахождения значения $k$ выберем на графике любую точку с известными координатами. Например, из графика видно, что гипербола проходит через точку $(2, 1)$.

Подставим координаты этой точки ($x=2$ и $y=1$) в уравнение $xy = k$:
$2 \cdot 1 = k$
$k = 2$

Таким образом, уравнение данной гиперболы — $xy = 2$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

1) $xy = 1$. Неверно. Эта гипербола проходит, например, через точку $(1, 1)$, что не соответствует рисунку.

2) $y = (x - 2)^{-1}$. Это уравнение можно записать как $y = \frac{1}{x-2}$. Оно описывает гиперболу, смещенную на 2 единицы вправо вдоль оси $x$. Ее вертикальная асимптота — прямая $x=2$, тогда как на рисунке асимптотой является ось $y$ (прямая $x=0$). Неверно.

3) $xy = 2$. Верно. Это уравнение соответствует найденному нами.

4) $xy = 4$. Неверно. Эта гипербола проходит, например, через точку $(2, 2)$, что не соответствует рисунку.

Ответ: 3

125 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 80.

1) $xy + 3 = 0$;

2) $xy - 1 = 0$;

3) $xy - 3 = 0$;

4) $y = x^{-1} + 3$.

Puc. 80

На графике, представленном на рисунке, изображена гипербола. Асимптотами этой гиперболы являются оси координат, то есть прямые $x=0$ и $y=0$. Общий вид уравнения такой гиперболы — $y = \frac{k}{x}$ или, в эквивалентной форме, $xy = k$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике произведение координат $x \cdot y$ будет отрицательным. Следовательно, коэффициент $k$ в уравнении $xy = k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).

Для нахождения конкретного значения коэффициента $k$ выберем на графике точку с легко определяемыми целочисленными координатами. Например, график проходит через точку $(1, -3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение $xy = k$:

$1 \cdot (-3) = k$

Отсюда получаем $k = -3$.

Таким образом, уравнение гиперболы, изображенной на рисунке, имеет вид $xy = -3$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов, чтобы найти соответствующий.

1) $xy + 3 = 0$
Перенесем 3 в правую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду: $xy = -3$. Это уравнение полностью совпадает с уравнением, которое мы вывели на основе анализа графика. Следовательно, это правильный ответ.

2) $xy - 1 = 0$
Преобразуем уравнение: $xy = 1$. Здесь коэффициент $k = 1$, что является положительным числом. Такая гипербола была бы расположена в первой и третьей координатных четвертях. Этот вариант не подходит.

3) $xy - 3 = 0$
Преобразуем уравнение: $xy = 3$. Здесь коэффициент $k = 3$, что также является положительным числом. Гипербола располагалась бы в первой и третьей четвертях. Этот вариант не подходит.

4) $y = x^{-1} + 3$
Это уравнение можно переписать в виде $y = \frac{1}{x} + 3$. Данное уравнение описывает гиперболу $y = \frac{1}{x}$, смещенную на 3 единицы вверх вдоль оси $y$. Её горизонтальной асимптотой является прямая $y = 3$, в то время как у гиперболы на рисунке горизонтальная асимптота — это ось абсцисс ($y = 0$). Этот вариант не подходит.

Ответ: 1) $xy + 3 = 0$

126 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 81.

1) $y = \frac{x + 1}{2}$;

2) $y = \frac{2}{x + 1}$;

3) $y = \frac{2}{x} + 1$;

4) $y = \frac{2}{x - 1}$.

Рис. 81

Чтобы найти уравнение гиперболы, изображённой на рисунке, определим её ключевые параметры по графику. Общий вид уравнения гиперболы с асимптотами, параллельными осям координат, — это $y = \frac{k}{x - a} + b$, где $x=a$ является вертикальной асимптотой, а $y=b$ — горизонтальной.

Из рисунка видно, что вертикальная асимптота (изображена пунктирной линией) — это прямая $x = -1$. Следовательно, $a = -1$. Горизонтальная асимптота совпадает с осью абсцисс, то есть её уравнение $y = 0$. Следовательно, $b = 0$.

Подставляя значения $a$ и $b$ в общую формулу, получаем уравнение вида $y = \frac{k}{x - (-1)} + 0$, что эквивалентно $y = \frac{k}{x + 1}$.

Для определения коэффициента $k$ воспользуемся одной из точек, через которую проходит график. Например, хорошо видна точка с координатами $(0, 2)$, которая принадлежит графику. Подставим её координаты в уравнение: $2 = \frac{k}{0 + 1}$, откуда следует, что $k = 2$.

Таким образом, искомое уравнение данной гиперболы: $y = \frac{2}{x + 1}$.

Теперь проанализируем предложенные варианты, чтобы найти совпадение.

1) $y = \frac{x + 1}{2}$

Это уравнение является уравнением прямой ($y = 0.5x + 0.5$), а не гиперболы. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $y = \frac{2}{x + 1}$

Это уравнение в точности совпадает с уравнением, которое мы вывели на основе анализа графика. У него вертикальная асимптота $x = -1$ и горизонтальная $y = 0$. Этот вариант является правильным.

3) $y = \frac{2}{x} + 1$

Для этой гиперболы вертикальная асимптота — $x = 0$, а горизонтальная — $y = 1$. Это не соответствует графику на рисунке.

4) $y = \frac{2}{x - 1}$

Для этой гиперболы вертикальная асимптота — $x = 1$, а горизонтальная — $y = 0$. Вертикальная асимптота не совпадает с изображённой на графике.

Ответ: 2