Номер 131, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

131 а) Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{6}{x - 2}$ на отрезке $[-8; -3]$.

1) -6; 2) -0,6; 3) -1,2; 4) -1.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = \frac{10}{x + 5}$ на отрезке $[-4,5; -2,5]$.

1) 5; 2) 20; 3) 4; 4) 25.

а)

Задана функция $y = \frac{6}{x-2}$ на отрезке $[-8; -3]$. Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо исследовать её на монотонность. Для этого найдем её производную.

$y' = \left(\frac{6}{x-2}\right)' = 6 \cdot ((x-2)^{-1})' = 6 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-2} = -\frac{6}{(x-2)^2}$.

Знаменатель производной $(x-2)^2$ всегда положителен (или равен нулю в точке $x=2$, которая не входит в рассматриваемый отрезок). Числитель -6 отрицателен. Следовательно, производная $y'$ всегда отрицательна на области определения функции.

Поскольку производная функции отрицательна на всем отрезке $[-8; -3]$, функция является строго убывающей на этом отрезке.

Для убывающей функции наименьшее значение на отрезке достигается в его правом конце. В нашем случае это точка $x = -3$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(-3) = \frac{6}{-3 - 2} = \frac{6}{-5} = -1,2$.

Это значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) -1,2.

б)

Задана функция $y = \frac{10}{x+5}$ на отрезке $[-4,5; -2,5]$. Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке найдем её производную, чтобы определить интервалы монотонности.

$y' = \left(\frac{10}{x+5}\right)' = 10 \cdot ((x+5)^{-1})' = 10 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-2} = -\frac{10}{(x+5)^2}$.

Знаменатель производной $(x+5)^2$ всегда положителен (или равен нулю в точке $x=-5$, которая не входит в рассматриваемый отрезок). Числитель -10 отрицателен. Таким образом, производная $y'$ всегда отрицательна на области определения функции.

Так как производная функции отрицательна на всем отрезке $[-4,5; -2,5]$, функция является строго убывающей на этом отрезке.

Для убывающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его левом конце. В данном случае это точка $x = -4,5$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(-4,5) = \frac{10}{-4,5 + 5} = \frac{10}{0,5} = 20$.

Это значение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) 20.