Страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какую последовательность называют геометрической прогрессией?

1. Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Более формально, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных чисел $n$ выполняются следующие условия:

1. Первый член $b_1 \neq 0$.
2. Существует такое число $q \neq 0$ (знаменатель прогрессии), что для любого $n \ge 1$ выполняется равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Из определения следует, что знаменатель прогрессии можно найти как отношение любого ее члена (начиная со второго) к предыдущему:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $n$-го члена, зная ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Примеры геометрических прогрессий:

• Последовательность 3, 9, 27, 81, ... является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3. Здесь первый член $b_1=3$ и знаменатель $q=3$.
• Последовательность 16, 8, 4, 2, 1, 0.5, ... является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=16$ и знаменателем $q=0.5$ (или $q=1/2$).
• Последовательность 5, -10, 20, -40, ... является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=5$ и знаменателем $q=-2$. Такая прогрессия называется знакочередующейся.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой первый член не равен нулю, а каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число (знаменатель прогрессии).

2. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Знаменателем геометрической прогрессии называют число $q$, которое показывает, во сколько раз каждый следующий член этой прогрессии больше предыдущего. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел ($b_1, b_2, b_3, \dots$), в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на это постоянное число $q$. При этом требуется, чтобы первый член $b_1$ и сам знаменатель $q$ были не равны нулю. Таким образом, для любого члена прогрессии справедливо равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно любой её член, начиная со второго, разделить на предшествующий ему член. Формула для нахождения знаменателя: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$
Например, для прогрессии $2, 8, 32, 128, \dots$ знаменатель можно найти так: $q = \frac{8}{2} = 4$ или $q = \frac{32}{8} = 4$. Знаменатель этой прогрессии равен $4$.

Значение знаменателя $q$ определяет характер прогрессии:
• если $q > 1$, то прогрессия возрастает (при $b_1 > 0$) или убывает (при $b_1 < 0$);
• если $0 < q < 1$, то прогрессия убывает (при $b_1 > 0$) или возрастает (при $b_1 < 0$);
• если $q < 0$, то прогрессия является знакопеременной, то есть её члены поочередно меняют знак;
• если $q = 1$, все члены прогрессии равны первому члену;
• если $|q| < 1$, то прогрессия называется бесконечно убывающей, и её члены стремятся к нулю.

Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии — это постоянное числовое отношение любого члена прогрессии (начиная со второго) к предыдущему члену. Он показывает, во сколько раз изменяется член последовательности на каждом шаге, и вычисляется по формуле $q = b_{n+1}/b_n$.

3. Приведите пример геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет неравенству:

a) $q > 1$;

б) $0 < q < 1$;

в) $q < 0$.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на определённое число (знаменатель прогрессии $q$). Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

Для каждого случая необходимо выбрать первый член $b_1$ и знаменатель $q$, удовлетворяющий заданному неравенству, а затем вычислить несколько первых членов последовательности.

а) $q > 1$;

Выберем знаменатель прогрессии, удовлетворяющий условию $q > 1$. Например, пусть $q = 3$. Выберем первый член прогрессии, например, $b_1 = 2$.

Теперь найдем первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 2$

$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$

$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$

$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$

В этом случае мы получили возрастающую геометрическую прогрессию.

Ответ: последовательность $2, 6, 18, 54, \dots$ (где $b_1 = 2$ и $q = 3$).

б) $0 < q < 1$;

Выберем знаменатель прогрессии, удовлетворяющий условию $0 < q < 1$. Например, пусть $q = \frac{1}{2}$. Выберем первый член прогрессии, например, $b_1 = 32$.

Теперь найдем первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 32$

$b_2 = b_1 \cdot q = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$

$b_3 = b_2 \cdot q = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$

$b_4 = b_3 \cdot q = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

В этом случае мы получили убывающую геометрическую прогрессию.

Ответ: последовательность $32, 16, 8, 4, \dots$ (где $b_1 = 32$ и $q = \frac{1}{2}$).

в) $q < 0$.

Выберем знаменатель прогрессии, удовлетворяющий условию $q < 0$. Например, пусть $q = -4$. Выберем первый член прогрессии, например, $b_1 = 1$.

Теперь найдем первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 1$

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-4) = -4$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-4) \cdot (-4) = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-4) = -64$

В этом случае мы получили знакочередующуюся геометрическую прогрессию, так как знаки её членов чередуются.

Ответ: последовательность $1, -4, 16, -64, \dots$ (где $b_1 = 1$ и $q = -4$).

4. Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$).

Геометрическая прогрессия, обозначаемая как $(b_n)$, представляет собой последовательность чисел, где каждый следующий член, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего члена на постоянное, не равное нулю число $q$. Это число $q$ называется знаменателем прогрессии. Первый член $b_1$ также не равен нулю.

Выведем формулу для n-го члена прогрессии. Согласно определению:
второй член $b_2$ равен $b_1 \cdot q$;
третий член $b_3$ равен $b_2 \cdot q$. Подставив выражение для $b_2$, получим $b_3 = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$;
четвертый член $b_4$ равен $b_3 \cdot q$. Подставив выражение для $b_3$, получим $b_4 = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3$.

Из этих примеров видна общая закономерность: для нахождения n-го члена прогрессии ($b_n$) необходимо первый член ($b_1$) умножить на знаменатель ($q$), возведенный в степень, которая на единицу меньше номера члена, то есть в степень $(n-1)$.

Таким образом, общая формула n-го члена геометрической прогрессии имеет следующий вид.

Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

5. Запишите формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($b_n$).

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Формула n-го члена имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, обозначаемая $S_n$, вычисляется по формуле, которая зависит от значения знаменателя $q$.

Для вывода формулы рассмотрим случай, когда $q \neq 1$. Сумма по определению равна:

$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$

Используя формулу n-го члена, запишем сумму в развернутом виде:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на $q$:

$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем из второго равенства первое. Большинство слагаемых при этом взаимно уничтожаются:

$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$

$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$

Так как по условию $q \neq 1$, мы можем разделить обе части на $(q - 1)$ и получить основную формулу суммы:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Эту же формулу можно записать в эквивалентном виде: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Отдельно рассмотрим случай, когда $q = 1$. В такой прогрессии все члены равны первому: $b_1, b_1, b_1, \dots$. Их сумма представляет собой $n$ одинаковых слагаемых:

$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ раз}} = n \cdot b_1$

Ответ:

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ зависит от значения $q$.

При $q \neq 1$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

При $q = 1$ используется формула:

$S_n = n \cdot b_1$

6. Является ли последовательность $ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, \dots $ геометрической прогрессией? Если да, то найдите её 8-й член; 10-й член; сумму первых восьми членов.

Сначала проверим, является ли данная последовательность $ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, ... $ геометрической прогрессией. Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии ($q$).

Обозначим члены последовательности: $b_1 = \frac{1}{4}$, $b_2 = \frac{1}{2}$, $b_3 = 1$, $b_4 = 2$.

Найдем отношение второго члена к первому:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/2}{1/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$.

Найдем отношение третьего члена ко второму:$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{1/2} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$.

Найдем отношение четвертого члена к третьему:$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{1} = 2$.

Поскольку отношение между соседними членами постоянно и равно 2, данная последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = \frac{1}{4}$, а знаменатель $q = 2$. Теперь найдем требуемые значения.

8-й член. Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим в нее известные значения для нахождения 8-го члена ($n=8$):$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = \frac{1}{4} \cdot 2^7 = \frac{1}{2^2} \cdot 2^7 = 2^{7-2} = 2^5 = 32$.Ответ: 32

10-й член. Аналогично найдем 10-й член последовательности ($n=10$):$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = \frac{1}{4} \cdot 2^9 = \frac{1}{2^2} \cdot 2^9 = 2^{9-2} = 2^7 = 128$.Ответ: 128

сумма первых восьми членов. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. Подставим значения для нахождения суммы первых восьми членов ($n=8$):$S_8 = \frac{\frac{1}{4}(2^8 - 1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{4}(256 - 1)}{1} = \frac{1}{4} \cdot 255 = \frac{255}{4}$.Это значение можно также записать как десятичную дробь $63.75$ или как смешанное число $63\frac{3}{4}$.Ответ: $\frac{255}{4}$

7. В чём состоит характеристическое свойство геометрической прогрессии?

Характеристическое свойство геометрической прогрессии заключается в том, что для любой последовательности с положительными членами, каждый её член, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.

В общем виде, для любой геометрической прогрессии $(b_n)$, состоящей из ненулевых чисел, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего).

Это свойство выражается следующей формулой:
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ при $n \ge 2$.

Доказательство:
Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, где $q \neq 0$ и $b_n \neq 0$ для любого $n$.
По определению геометрической прогрессии:
$b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$
$b_{n+1} = b_n \cdot q$
Найдем произведение соседних членов $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:
$b_{n-1} \cdot b_{n+1} = \left(\frac{b_n}{q}\right) \cdot (b_n \cdot q) = b_n^2$.
Таким образом, равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ доказано.

Это свойство является характеристическим, так как оно представляет собой необходимое и достаточное условие. Это означает, что не только у каждой геометрической прогрессии есть это свойство, но и любая последовательность ненулевых чисел, обладающая этим свойством, является геометрической прогрессией.

Пример:
Рассмотрим геометрическую прогрессию: 2, 6, 18, 54, ...
Здесь первый член $b_1 = 2$, а знаменатель прогрессии $q = 3$.
Проверим свойство для члена $b_2 = 6$. Его соседи: $b_1 = 2$ и $b_3 = 18$.
Квадрат члена: $b_2^2 = 6^2 = 36$.
Произведение соседей: $b_1 \cdot b_3 = 2 \cdot 18 = 36$.
Равенство $36 = 36$ выполняется.
Проверим свойство для члена $b_3 = 18$. Его соседи: $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$.
Квадрат члена: $b_3^2 = 18^2 = 324$.
Произведение соседей: $b_2 \cdot b_4 = 6 \cdot 54 = 324$.
Равенство $324 = 324$ также выполняется.

Ответ: Характеристическое свойство геометрической прогрессии состоит в том, что квадрат любого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего): $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для всех $n \ge 2$.

8. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Известно, что $b_{15} = 3$, $b_{17} = 12$. Найдите $b_{16}$, если известно, что:

а) знаменатель прогрессии — положительное число;

б) знаменатель прогрессии — отрицательное число.

Пусть $q$ — знаменатель данной геометрической прогрессии $(b_n)$.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель $q$. Связь между любыми двумя членами прогрессии $b_m$ и $b_k$ выражается формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Используем эту формулу для известных нам членов прогрессии $b_{17}$ и $b_{15}$:

$b_{17} = b_{15} \cdot q^{17-15} = b_{15} \cdot q^2$

Подставим заданные значения $b_{15} = 3$ и $b_{17} = 12$:

$12 = 3 \cdot q^2$

Теперь решим это уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 3:

$q^2 = \frac{12}{3}$

$q^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $q_1 = \sqrt{4} = 2$ и $q_2 = -\sqrt{4} = -2$.

Теперь мы можем найти $b_{16}$ для каждого из двух случаев.

а) знаменатель прогрессии — положительное число;

По условию, знаменатель $q$ является положительным числом, поэтому мы выбираем значение $q = 2$.

Член прогрессии $b_{16}$ можно найти, умножив $b_{15}$ на $q$:

$b_{16} = b_{15} \cdot q$

$b_{16} = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: $b_{16} = 6$.

б) знаменатель прогрессии — отрицательное число.

По условию, знаменатель $q$ является отрицательным числом, поэтому мы выбираем значение $q = -2$.

Аналогично находим член прогрессии $b_{16}$, умножив $b_{15}$ на $q$:

$b_{16} = b_{15} \cdot q$

$b_{16} = 3 \cdot (-2) = -6$

Ответ: $b_{16} = -6$.

177 а) На рисунке 93 изображена парабола $y = x^2 - 5x + 4$. Найдите абсциссу точки B.

б) На рисунке 94 изображена парабола $y = -x^2 - 5x + 6$. Найдите абсциссу точки A.

Puc. 91

Puc. 92

а) На рисунке 93 изображена парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 5x + 4$. Точка B является одной из точек пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox). Чтобы найти абсциссы точек пересечения графика с осью Ox, необходимо приравнять значение функции (координату y) к нулю.

Решим квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Мы можем найти корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках с абсциссами 1 и 4. На рисунке 91 видно, что точка A находится левее точки B, следовательно, абсцисса точки A меньше абсциссы точки B. Значит, абсцисса точки A равна 1, а абсцисса точки B равна 4.

Ответ: 4

б) На рисунке 94 изображена парабола, заданная уравнением $y = -x^2 - 5x + 6$. Точка A является одной из точек пересечения параболы с осью абсцисс. Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти абсциссы точек пересечения, приравняем y к нулю.

Решим квадратное уравнение:

$-x^2 - 5x + 6 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на -1:

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-6$.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Парабола пересекает ось Ox в точках с абсциссами -6 и 1. На рисунке 92 видно, что точка A находится на отрицательной части оси Ox (левее начала координат), а точка B — на положительной. Следовательно, абсцисса точки A является отрицательным корнем.

Ответ: -6

178 а) На рисунке 95 изображены графики функций $y = -x^2 - 4x$ и $y = 2x + 5$. Найдите координаты точки C.

б) На рисунке 96 изображены графики функций $y = x^2 - 4x$ и $y = -2x + 3$. Найдите координаты точки C.

Рис. 95

Рис. 96

а) Чтобы найти координаты точки пересечения C, необходимо найти общее решение для системы уравнений, которые описывают данные графики. Точки пересечения — это точки, в которых значения $x$ и $y$ для обеих функций совпадают.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = 2x + 5 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):

$-x^2 - 4x = 2x + 5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 4x + 2x + 5 = 0$

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корни легко подбираются: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, мы нашли абсциссы двух точек пересечения графиков. Из рисунка 95 видно, что точка C — это та точка пересечения, которая находится левее, то есть имеет меньшую абсциссу. Сравнивая $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$, выбираем меньшее значение: $x = -5$.

Теперь найдем соответствующую ординату (координату $y$), подставив значение $x = -5$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой:

$y = 2x + 5 = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5$

Следовательно, координаты точки C равны $(-5, -5)$.

Ответ: $(-5, -5)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем координаты точки C, решив систему уравнений для графиков, изображенных на рисунке 96.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 4x \\ y = -2x + 3 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x = -2x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 2x - 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Мы получили абсциссы двух точек пересечения. На рисунке 96 точка C расположена во второй координатной четверти, что означает, что ее абсцисса должна быть отрицательной, а ордината — положительной. Из двух найденных абсцисс ($3$ и $-1$) отрицательной является $x = -1$.

Найдем ординату точки C, подставив $x = -1$ в уравнение прямой:

$y = -2x + 3 = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Итак, координаты точки C равны $(-1, 5)$.

Ответ: $(-1, 5)$.