Номер 168, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

168 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^3 - 4x}{x + 2}$;

б) $y = \frac{x^4 - x^3 - x^2 + x}{x^2 + x}$;

в) $y = \frac{x^3 + x^2 - 9x - 9}{x - 3}$;

г) $y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - x - 2}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^3 - 4x}{x + 2}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители:

$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

Тогда функция примет вид:

$y = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$.

Поскольку $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:

$y = x(x - 2) = x^2 - 2x$.

3. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$ во всех точках, кроме точки, где $x = -2$.

4. Построим график параболы $y = x^2 - 2x$.

- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1$).

- Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

- $y_0 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.

- Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: $x = 0$, $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y = 0$, $x^2 - 2x = 0$, $x(x - 2) = 0$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

5. Найдем координаты "выколотой" точки. При $x = -2$ значение функции $y = x^2 - 2x$ равно:

$y = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8$.

Следовательно, точка $(-2, 8)$ не принадлежит графику исходной функции. Эту точку на графике параболы нужно "выколоть" (обозначить пустым кружком).

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой $(-2, 8)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^4 - x^3 - x^2 + x}{x^2 + x}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x^2 + x \neq 0$, $x(x + 1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

2. Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^4 - x^3 - x^2 + x = (x^4 - x^3) - (x^2 - x) = x^3(x - 1) - x(x - 1) = (x - 1)(x^3 - x) = (x - 1)x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x - 1)(x + 1) = x(x + 1)(x - 1)^2$.

Знаменатель: $x^2 + x = x(x + 1)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{x(x + 1)(x - 1)^2}{x(x + 1)}$.

Учитывая область определения ($x \neq 0, x \neq -1$), сократим дробь:

$y = (x - 1)^2$.

3. График исходной функции — это парабола $y = (x - 1)^2$ с выколотыми точками при $x = 0$ и $x = -1$.

4. График функции $y = (x - 1)^2$ — это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

5. Найдем координаты выколотых точек:

- При $x = 0$: $y = (0 - 1)^2 = 1$. Выколотая точка $(0, 1)$.

- При $x = -1$: $y = (-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4$. Выколотая точка $(-1, 4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x - 1)^2$ с выколотыми точками $(0, 1)$ и $(-1, 4)$.

в)

Дана функция $y = \frac{x^3 + x^2 - 9x - 9}{x - 3}$.

1. Область определения: $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x + 1) - 9(x + 1) = (x^2 - 9)(x + 1) = (x - 3)(x + 3)(x + 1)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 1)}{x - 3}$.

При $x \neq 3$ сокращаем дробь:

$y = (x + 3)(x + 1) = x^2 + 4x + 3$.

3. График исходной функции — это парабола $y = x^2 + 4x + 3$ с выколотой точкой при $x = 3$.

4. Построим параболу $y = x^2 + 4x + 3$.

- Ветви вверх ($a = 1 > 0$).

- Координаты вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

- $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(-2, -1)$.

- Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0, y=3$. Точка $(0, 3)$.

С осью Ox: $y=0, x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = -3$. Точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = 3$:

$y = 3^2 + 4(3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24$.

Выколотая точка имеет координаты $(3, 24)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4x + 3$ с выколотой точкой $(3, 24)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - x - 2}$.

1. Найдем область определения. Решим уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2, x_2 = -1$. Значит, область определения: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Числитель (биквадратное уравнение): пусть $t = x^2$. Тогда $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Следовательно, $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)}$.

Учитывая область определения ($x \neq 2, x \neq -1$), сократим дробь:

$y = (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$.

3. График исходной функции — парабола $y = x^2 + x - 2$ с выколотыми точками при $x = 2$ и $x = -1$.

4. Построим параболу $y = x^2 + x - 2$.

- Ветви вверх ($a = 1 > 0$).

- Координаты вершины: $x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.

- $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Вершина в точке $(-0.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0, y=-2$. Точка $(0, -2)$.

С осью Ox: $y=0, x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -2$. Точки $(1, 0)$ и $(-2, 0)$.

5. Найдем координаты выколотых точек:

- При $x = 2$: $y = 2^2 + 2 - 2 = 4$. Выколотая точка $(2, 4)$.

- При $x = -1$: $y = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$. Выколотая точка $(-1, -2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + x - 2$ с выколотыми точками $(2, 4)$ и $(-1, -2)$.