Номер 179, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

179 Укажите прямые, которые имеют с параболой $y = x^2 + 4x + 3$ ровно одну общую точку.

1) $y = 0$;

2) $y = x - 2$;

3) $y = -1$;

4) $y = 2x + 2$.

Чтобы определить, какие из предложенных прямых имеют с параболой $y = x^2 + 4x + 3$ ровно одну общую точку, необходимо для каждой прямой решить систему уравнений. Если система, сведенная к квадратному уравнению вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеет единственное решение, то прямая и парабола имеют одну точку пересечения (касаются). Это соответствует случаю, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ полученного квадратного уравнения равен нулю.

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой: $x^2 + 4x + 3 = 0$.Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что означает, что прямая $y=0$ пересекает параболу в двух точках.Ответ: не подходит.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4x + 3 = x - 2$.Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 4x - x + 3 + 2 = 0$, что равносильно $x^2 + 3x + 5 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что прямая $y=x-2$ не имеет общих точек с параболой.Ответ: не подходит.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4x + 3 = -1$.Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 4x + 4 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один корень. Это означает, что прямая $y=-1$ имеет с параболой ровно одну общую точку (является касательной).Ответ: подходит.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 + 4x + 3 = 2x + 2$.Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 2x + 1 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$.Поскольку $D = 0$, уравнение имеет ровно один корень. Это означает, что прямая $y=2x+2$ имеет с параболой ровно одну общую точку (является касательной).Ответ: подходит.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют прямые, указанные в пунктах 3 и 4.

Ответ: 3, 4.