Номер 1, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Последовательность Фибоначчи и её свойства.

Последовательность Фибоначчи — это числовая последовательность, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Она названа в честь средневекового математика Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи.

Определение

Последовательность чисел Фибоначчи $F_n$ задается рекуррентным соотношением: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ с начальными значениями, как правило, $F_0 = 0$ и $F_1 = 1$.

Первые члены последовательности (начиная с $F_0$) выглядят так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ответ: Последовательность Фибоначчи определяется формулой $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ с начальными членами $F_0 = 0$ и $F_1 = 1$.

Связь с золотым сечением

Одним из самых известных свойств последовательности Фибоначчи является ее связь с золотым сечением. Отношение двух соседних членов последовательности Фибоначчи по мере возрастания их номеров стремится к константе, называемой золотым сечением (обозначается греческой буквой $\varphi$).

$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339...$

Например, $89/55 \approx 1.61818$, а $144/89 \approx 1.61797$.

Ответ: Отношение последующего члена последовательности Фибоначчи к предыдущему стремится к золотому сечению $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Формула Бине

Существует явная формула для нахождения $n$-го члена последовательности Фибоначчи без необходимости вычислять все предыдущие. Эта формула называется формулой Бине.

$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$

где $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (золотое сечение), а $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = -\frac{1}{\varphi}$. Поскольку $|\psi| < 1$, с ростом $n$ второе слагаемое в числителе ($\psi^n$) стремится к нулю, поэтому $F_n$ можно приближенно вычислить как $\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ и округлить до ближайшего целого.

Ответ: $n$-й член последовательности Фибоначчи можно найти по формуле Бине: $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right)$.

Тождество Кассини

Это тождество связывает три последовательных члена последовательности Фибоначчи. Оно утверждает, что для любого $n > 0$:

$F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$

Например, для $n=6$: $F_5 \cdot F_7 - F_6^2 = 5 \cdot 13 - 8^2 = 65 - 64 = 1 = (-1)^6$.

Ответ: Тождество Кассини: $F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$.

Свойства сумм

Существуют элегантные формулы для сумм членов последовательности Фибоначчи.

• Сумма первых $n$ членов: $\sum_{i=1}^{n} F_i = F_{n+2} - 1$.
  Например: $F_1+...+F_5 = 1+1+2+3+5 = 12$, а $F_7-1 = 13-1=12$.
• Сумма квадратов первых $n$ членов: $\sum_{i=1}^{n} F_i^2 = F_n F_{n+1}$.
  Например: $F_1^2+...+F_4^2 = 1^2+1^2+2^2+3^2 = 1+1+4+9 = 15$, а $F_4 F_5 = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: Сумма первых $n$ членов равна $F_{n+2} - 1$, а сумма их квадратов равна $F_n F_{n+1}$.

Свойства делимости

Последовательность Фибоначчи обладает интересными свойствами, связанными с делимостью чисел.

• Если $m$ делит $n$, то $F_m$ делит $F_n$. Например, $3$ делит $6$, и $F_3=2$ делит $F_6=8$.
• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю их индексов: НОД$(F_m, F_n) = F_{\text{НОД}(m,n)}$.
  Например: НОД$(F_6, F_9) = $ НОД$(8, 34) = 2$. При этом НОД$(6,9)=3$, а $F_3=2$.

Ответ: Ключевые свойства делимости: если $m|n$, то $F_m|F_n$; НОД$(F_m, F_n) = F_{\text{НОД}(m,n)}$.

Теорема Цекендорфа

Эта теорема утверждает, что любое натуральное число можно представить единственным образом в виде суммы чисел Фибоначчи, причем в этом представлении нет двух соседних чисел Фибоначчи. Такое представление называется представлением Цекендорфа.

Например, число 100 можно представить как $89 + 8 + 3 = F_{11} + F_6 + F_4$. В этой сумме нет соседних чисел Фибоначчи (например, $F_5$ и $F_6$).

Ответ: Теорема Цекендорфа гласит, что любое натуральное число имеет уникальное представление в виде суммы непоследовательных чисел Фибоначчи.