Номер 6, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Является ли последовательность $ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, \dots $ геометрической прогрессией? Если да, то найдите её 8-й член; 10-й член; сумму первых восьми членов.

Сначала проверим, является ли данная последовательность $ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, ... $ геометрической прогрессией. Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии ($q$).

Обозначим члены последовательности: $b_1 = \frac{1}{4}$, $b_2 = \frac{1}{2}$, $b_3 = 1$, $b_4 = 2$.

Найдем отношение второго члена к первому:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/2}{1/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$.

Найдем отношение третьего члена ко второму:$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{1/2} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$.

Найдем отношение четвертого члена к третьему:$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{1} = 2$.

Поскольку отношение между соседними членами постоянно и равно 2, данная последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = \frac{1}{4}$, а знаменатель $q = 2$. Теперь найдем требуемые значения.

8-й член. Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим в нее известные значения для нахождения 8-го члена ($n=8$):$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = \frac{1}{4} \cdot 2^7 = \frac{1}{2^2} \cdot 2^7 = 2^{7-2} = 2^5 = 32$.Ответ: 32

10-й член. Аналогично найдем 10-й член последовательности ($n=10$):$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = \frac{1}{4} \cdot 2^9 = \frac{1}{2^2} \cdot 2^9 = 2^{9-2} = 2^7 = 128$.Ответ: 128

сумма первых восьми членов. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. Подставим значения для нахождения суммы первых восьми членов ($n=8$):$S_8 = \frac{\frac{1}{4}(2^8 - 1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{4}(256 - 1)}{1} = \frac{1}{4} \cdot 255 = \frac{255}{4}$.Это значение можно также записать как десятичную дробь $63.75$ или как смешанное число $63\frac{3}{4}$.Ответ: $\frac{255}{4}$