Номер 5, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Запишите формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($b_n$).

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Формула n-го члена имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, обозначаемая $S_n$, вычисляется по формуле, которая зависит от значения знаменателя $q$.

Для вывода формулы рассмотрим случай, когда $q \neq 1$. Сумма по определению равна:

$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$

Используя формулу n-го члена, запишем сумму в развернутом виде:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$

Умножим обе части этого равенства на $q$:

$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$

Теперь вычтем из второго равенства первое. Большинство слагаемых при этом взаимно уничтожаются:

$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$

$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$

Так как по условию $q \neq 1$, мы можем разделить обе части на $(q - 1)$ и получить основную формулу суммы:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Эту же формулу можно записать в эквивалентном виде: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Отдельно рассмотрим случай, когда $q = 1$. В такой прогрессии все члены равны первому: $b_1, b_1, b_1, \dots$. Их сумма представляет собой $n$ одинаковых слагаемых:

$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ раз}} = n \cdot b_1$

Ответ:

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ зависит от значения $q$.

При $q \neq 1$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

При $q = 1$ используется формула:

$S_n = n \cdot b_1$