Номер 7, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Является ли последовательность $3, 1, -1, -3, ...$ арифметической прогрессией? Если да, то найдите сумму первых двадцати её членов.

Является ли последовательность 3, 1, –1, –3, … арифметической прогрессией?

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью прогрессии и обозначается $d$.

Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, найдем разность между её соседними членами. Обозначим члены последовательности: $a_1=3$, $a_2=1$, $a_3=-1$, $a_4=-3$.

Вычислим разности:
$d = a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$
$d = a_3 - a_2 = -1 - 1 = -2$
$d = a_4 - a_3 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2$

Поскольку разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна $-2$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

Если да, то найдите сумму первых двадцати её членов.

Мы установили, что заданная последовательность — это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 3$ и разность $d = -2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Нам необходимо найти сумму первых двадцати членов, то есть $n=20$. Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 3 + (-2)(20 - 1)}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{6 - 2 \cdot 19}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{6 - 38}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{-32}{2} \cdot 20$
$S_{20} = -16 \cdot 20$
$S_{20} = -320$

Ответ: -320.