Номер 3, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Приведите пример геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет неравенству:

a) $q > 1$;

б) $0 < q < 1$;

в) $q < 0$.

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на определённое число (знаменатель прогрессии $q$). Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии.

Для каждого случая необходимо выбрать первый член $b_1$ и знаменатель $q$, удовлетворяющий заданному неравенству, а затем вычислить несколько первых членов последовательности.

а) $q > 1$;

Выберем знаменатель прогрессии, удовлетворяющий условию $q > 1$. Например, пусть $q = 3$. Выберем первый член прогрессии, например, $b_1 = 2$.

Теперь найдем первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 2$

$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$

$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$

$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$

В этом случае мы получили возрастающую геометрическую прогрессию.

Ответ: последовательность $2, 6, 18, 54, \dots$ (где $b_1 = 2$ и $q = 3$).

б) $0 < q < 1$;

Выберем знаменатель прогрессии, удовлетворяющий условию $0 < q < 1$. Например, пусть $q = \frac{1}{2}$. Выберем первый член прогрессии, например, $b_1 = 32$.

Теперь найдем первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 32$

$b_2 = b_1 \cdot q = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$

$b_3 = b_2 \cdot q = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$

$b_4 = b_3 \cdot q = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

В этом случае мы получили убывающую геометрическую прогрессию.

Ответ: последовательность $32, 16, 8, 4, \dots$ (где $b_1 = 32$ и $q = \frac{1}{2}$).

в) $q < 0$.

Выберем знаменатель прогрессии, удовлетворяющий условию $q < 0$. Например, пусть $q = -4$. Выберем первый член прогрессии, например, $b_1 = 1$.

Теперь найдем первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 1$

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-4) = -4$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-4) \cdot (-4) = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-4) = -64$

В этом случае мы получили знакочередующуюся геометрическую прогрессию, так как знаки её членов чередуются.

Ответ: последовательность $1, -4, 16, -64, \dots$ (где $b_1 = 1$ и $q = -4$).