Номер 2, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Описание реальных ситуаций с помощью прогрессий.

Прогрессии — это числовые последовательности, в которых каждый следующий член можно найти, зная предыдущий. Они являются мощным инструментом для описания и прогнозирования процессов, в которых изменения происходят по определенному, постоянному закону. Существует два основных вида прогрессий: арифметическая и геометрическая.

Арифметическая прогрессия

Это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается путем прибавления к предыдущему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии. Примеры из жизни — это процессы с постоянным приростом или убылью.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$

Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Пример 1: Тренировки спортсмена

Бегун готовится к марафону. В первый день он пробежал 3 км. Каждый следующий день он увеличивал дистанцию на 1.5 км. Какую дистанцию он пробежит на 10-й день и какой общий путь он преодолеет за 10 дней тренировок?

В этой задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, где:

• Первый член прогрессии (дистанция в первый день) $a_1 = 3$ км.
• Разность прогрессии (ежедневное увеличение) $d = 1.5$ км.
• Количество дней (членов прогрессии) $n = 10$.

Сначала найдем дистанцию на 10-й день ($a_{10}$) по формуле n-го члена:

$a_{10} = a_1 + d(10-1) = 3 + 1.5 \cdot 9 = 3 + 13.5 = 16.5$ км.

Теперь найдем общую дистанцию за 10 дней ($S_{10}$) по формуле суммы:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{3 + 16.5}{2} \cdot 10 = \frac{19.5}{2} \cdot 10 = 9.75 \cdot 10 = 97.5$ км.

Ответ: На 10-й день спортсмен пробежит 16.5 км, а всего за 10 дней он преодолеет 97.5 км.

Пример 2: Сбережения

Семья решила копить деньги на отпуск. В январе они отложили 5000 рублей, а в каждый последующий месяц откладывали на 500 рублей больше, чем в предыдущий. Какую сумму они отложат в декабре и сколько всего накопят за год?

Здесь также арифметическая прогрессия:

• $a_1 = 5000$ (сумма в январе).
• $d = 500$ (ежемесячное увеличение).
• $n = 12$ (количество месяцев в году).

Найдем сумму, отложенную в декабре ($a_{12}$):

$a_{12} = a_1 + d(12-1) = 5000 + 500 \cdot 11 = 5000 + 5500 = 10500$ рублей.

Найдем общую сумму накоплений за год ($S_{12}$):

$S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{5000 + 10500}{2} \cdot 12 = \frac{15500}{2} \cdot 12 = 7750 \cdot 12 = 93000$ рублей.

Ответ: В декабре семья отложит 10500 рублей, а всего за год они накопят 93000 рублей.

Геометрическая прогрессия

Это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Геометрические прогрессии описывают процессы с процентным ростом или убылью, такие как банковские вклады, рост популяций или радиоактивный распад.

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$)

Пример 1: Банковский вклад

Клиент положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых со сложным процентом (проценты начисляются на всю сумму, включая ранее начисленные проценты). Какая сумма будет на его счете через 5 лет?

Ежегодно сумма на счете увеличивается в $1 + \frac{10}{100} = 1.1$ раза. Это геометрическая прогрессия.

• Начальная сумма (можно считать "нулевым" членом) — 100 000.
• Первый член прогрессии (сумма через 1 год) $b_1 = 100000 \cdot 1.1 = 110000$.
• Знаменатель прогрессии $q = 1.1$.
• Нам нужно найти сумму через 5 лет, что соответствует 5-му члену прогрессии ($b_5$).

Используем формулу n-го члена:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 110000 \cdot (1.1)^4$

Либо, что проще для понимания, можно взять начальную сумму $B_0 = 100000$ и умножить ее на $q$ пять раз:

Сумма через 5 лет $= B_0 \cdot q^5 = 100000 \cdot (1.1)^5 = 100000 \cdot 1.61051 = 161051$ рубль.

Ответ: Через 5 лет на счете будет 161 051 рубль.

Пример 2: Рост популяции бактерий

В благоприятной среде одна бактерия делится на две каждые 20 минут. Если изначально в колбе была 1 бактерия, сколько их станет через 2 часа?

Количество бактерий удваивается каждый период, это геометрическая прогрессия.

• Начальное количество (первый член) $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q = 2$ (удвоение).
• Найдем количество периодов деления. 2 часа = 120 минут. Количество 20-минутных периодов: $n_{периодов} = \frac{120}{20} = 6$.

Нам нужно найти количество бактерий после 6 циклов деления. Это будет 7-й член прогрессии, если считать $b_1=1$ начальным моментом.

Количество бактерий $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 1 \cdot 2^6 = 64$.

Ответ: Через 2 часа в колбе будет 64 бактерии.