Номер 7, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Сформулируйте правило умножения для двух испытаний.

Правило умножения вероятностей используется для нахождения вероятности совместного наступления (пересечения) двух событий, связанных с двумя испытаниями. Формулировка правила зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми.

Правило умножения для зависимых событий (общая форма)

Два события называются зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Для таких событий применяется общая форма правила умножения. Правило формулируется следующим образом: вероятность совместного наступления двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Математически это выражается формулой:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

или, что эквивалентно:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Здесь:

• $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что произойдут и событие A, и событие B (совместная вероятность).
• $P(A)$ — это вероятность наступления события A (безусловная вероятность).
• $P(B|A)$ — это условная вероятность наступления события B при условии, что событие A уже наступило.

Правило умножения для независимых событий (частный случай)

Два события называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. В этом случае условная вероятность события равна его безусловной вероятности, то есть $P(B|A) = P(B)$ и $P(A|B) = P(A)$. Правило для независимых событий формулируется так: вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Математически это выражается формулой:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Эта формула является частным случаем общей теоремы умножения, так как является ее прямым следствием при условии независимости событий.

Ответ: Правило умножения для двух испытаний (событий) A и B гласит, что вероятность их совместного наступления $P(A \cap B)$ равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Если события A и B независимы, то правило упрощается, и вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.