Номер 14, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14. Сформулируйте теорему о перестановках множества из $n$ элементов.

Перестановкой множества из n различных элементов называется любой упорядоченный набор (последовательность), в который входят все элементы данного множества по одному разу. Таким образом, перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Теорема о числе перестановок

Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n-факториалу.

Это число обозначается символом $P_n$ и вычисляется по следующей формуле: $P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Пояснение и доказательство:

Рассуждение строится на основе правила произведения в комбинаторике. Чтобы составить перестановку из n элементов, нам нужно последовательно заполнить n позиций.

На первую позицию мы можем выбрать любой из n имеющихся элементов. Таким образом, у нас есть n способов.

После того как первая позиция занята, для второй позиции у нас остается $n-1$ элемент. Следовательно, есть $n-1$ способ выбрать элемент для второй позиции.

Для третьей позиции остается $n-2$ элемента, то есть $n-2$ способа.

Продолжая этот процесс, для предпоследней ($(n-1)$-й) позиции у нас будет 2 оставшихся элемента (2 способа), и для последней, n-й, позиции останется только 1 элемент (1 способ).

Общее число способов составить перестановку равно произведению числа способов для каждой позиции: $P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$

Пример:

Пусть дано множество из трех элементов $\{1, 2, 3\}$. Здесь $n=3$. Число перестановок равно $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Вот все 6 возможных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Ответ: Теорема о перестановках утверждает, что число всех различных перестановок множества, содержащего n элементов, обозначается $P_n$ и равно факториалу числа n. Формула для вычисления: $P_n = n!$.