Номер 8, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Известно, что $b_{15} = 3$, $b_{17} = 12$. Найдите $b_{16}$, если известно, что:

а) знаменатель прогрессии — положительное число;

б) знаменатель прогрессии — отрицательное число.

Пусть $q$ — знаменатель данной геометрической прогрессии $(b_n)$.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель $q$. Связь между любыми двумя членами прогрессии $b_m$ и $b_k$ выражается формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Используем эту формулу для известных нам членов прогрессии $b_{17}$ и $b_{15}$:

$b_{17} = b_{15} \cdot q^{17-15} = b_{15} \cdot q^2$

Подставим заданные значения $b_{15} = 3$ и $b_{17} = 12$:

$12 = 3 \cdot q^2$

Теперь решим это уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 3:

$q^2 = \frac{12}{3}$

$q^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $q_1 = \sqrt{4} = 2$ и $q_2 = -\sqrt{4} = -2$.

Теперь мы можем найти $b_{16}$ для каждого из двух случаев.

а) знаменатель прогрессии — положительное число;

По условию, знаменатель $q$ является положительным числом, поэтому мы выбираем значение $q = 2$.

Член прогрессии $b_{16}$ можно найти, умножив $b_{15}$ на $q$:

$b_{16} = b_{15} \cdot q$

$b_{16} = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: $b_{16} = 6$.

б) знаменатель прогрессии — отрицательное число.

По условию, знаменатель $q$ является отрицательным числом, поэтому мы выбираем значение $q = -2$.

Аналогично находим член прогрессии $b_{16}$, умножив $b_{15}$ на $q$:

$b_{16} = b_{15} \cdot q$

$b_{16} = 3 \cdot (-2) = -6$

Ответ: $b_{16} = -6$.