Номер 7, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. В чём состоит характеристическое свойство геометрической прогрессии?

Характеристическое свойство геометрической прогрессии заключается в том, что для любой последовательности с положительными членами, каждый её член, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.

В общем виде, для любой геометрической прогрессии $(b_n)$, состоящей из ненулевых чисел, квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего).

Это свойство выражается следующей формулой:
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ при $n \ge 2$.

Доказательство:
Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, где $q \neq 0$ и $b_n \neq 0$ для любого $n$.
По определению геометрической прогрессии:
$b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$
$b_{n+1} = b_n \cdot q$
Найдем произведение соседних членов $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:
$b_{n-1} \cdot b_{n+1} = \left(\frac{b_n}{q}\right) \cdot (b_n \cdot q) = b_n^2$.
Таким образом, равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ доказано.

Это свойство является характеристическим, так как оно представляет собой необходимое и достаточное условие. Это означает, что не только у каждой геометрической прогрессии есть это свойство, но и любая последовательность ненулевых чисел, обладающая этим свойством, является геометрической прогрессией.

Пример:
Рассмотрим геометрическую прогрессию: 2, 6, 18, 54, ...
Здесь первый член $b_1 = 2$, а знаменатель прогрессии $q = 3$.
Проверим свойство для члена $b_2 = 6$. Его соседи: $b_1 = 2$ и $b_3 = 18$.
Квадрат члена: $b_2^2 = 6^2 = 36$.
Произведение соседей: $b_1 \cdot b_3 = 2 \cdot 18 = 36$.
Равенство $36 = 36$ выполняется.
Проверим свойство для члена $b_3 = 18$. Его соседи: $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$.
Квадрат члена: $b_3^2 = 18^2 = 324$.
Произведение соседей: $b_2 \cdot b_4 = 6 \cdot 54 = 324$.
Равенство $324 = 324$ также выполняется.

Ответ: Характеристическое свойство геометрической прогрессии состоит в том, что квадрат любого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего): $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для всех $n \ge 2$.