Номер 2, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Знаменателем геометрической прогрессии называют число $q$, которое показывает, во сколько раз каждый следующий член этой прогрессии больше предыдущего. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел ($b_1, b_2, b_3, \dots$), в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на это постоянное число $q$. При этом требуется, чтобы первый член $b_1$ и сам знаменатель $q$ были не равны нулю. Таким образом, для любого члена прогрессии справедливо равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно любой её член, начиная со второго, разделить на предшествующий ему член. Формула для нахождения знаменателя: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$
Например, для прогрессии $2, 8, 32, 128, \dots$ знаменатель можно найти так: $q = \frac{8}{2} = 4$ или $q = \frac{32}{8} = 4$. Знаменатель этой прогрессии равен $4$.

Значение знаменателя $q$ определяет характер прогрессии:
• если $q > 1$, то прогрессия возрастает (при $b_1 > 0$) или убывает (при $b_1 < 0$);
• если $0 < q < 1$, то прогрессия убывает (при $b_1 > 0$) или возрастает (при $b_1 < 0$);
• если $q < 0$, то прогрессия является знакопеременной, то есть её члены поочередно меняют знак;
• если $q = 1$, все члены прогрессии равны первому члену;
• если $|q| < 1$, то прогрессия называется бесконечно убывающей, и её члены стремятся к нулю.

Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии — это постоянное числовое отношение любого члена прогрессии (начиная со второго) к предыдущему члену. Он показывает, во сколько раз изменяется член последовательности на каждом шаге, и вычисляется по формуле $q = b_{n+1}/b_n$.