Номер 141, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Рис. 89

141 На рис. 89 изображён график функции $y = f(x)$. Определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень.

1) $p = 4$;

2) $p = \pm 4$;

3) $p = -1$;

4) $p = -1, p = \pm 4$.

Количество корней уравнения $f(x) = p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=p$. Чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо найти такие значения $p$, при которых прямая $y=p$ пересекает изображенный на рисунке график ровно в одной точке.

Проанализируем график. Горизонтальная прямая будет иметь с ним ровно одну общую точку, если она будет касаться графика в точке его глобального максимума (самой высокой точке) или глобального минимума (самой низкой точке).

1. Из графика видно, что наивысшая точка функции (глобальный максимум) имеет ординату $y=4$. Прямая $y=4$ касается графика в этой единственной точке в вершине. Следовательно, при $p=4$ уравнение $f(x)=p$ имеет один корень.

2. Также из графика видно, что наинизшая точка функции (глобальный минимум) имеет ординату $y=-4$. Прямая $y=-4$ касается графика в этой единственной точке в самой низкой точке впадины. Следовательно, при $p=-4$ уравнение $f(x)=p$ также имеет один корень.

При других значениях $p$ количество точек пересечения будет иным. Например, при $p=-1$ прямая $y=-1$ пересекает график в трех точках, а при $p=0$ (ось абсцисс) — в четырех точках. Если $p > 4$ или $p < -4$, точек пересечения нет (0 корней).

Таким образом, уравнение $f(x)=p$ имеет ровно один корень только при $p=4$ и $p=-4$. В совокупности это можно записать как $p=\pm4$. Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант под номером 2.

Ответ: 2) $p = \pm4$