Номер 144, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

144 Укажите функцию, которая является чётной.

1) $y = x^3 + \frac{2}{x^2}$;

2) $y = -x^3 + \frac{1}{x}$;

3) $y = x^2 - 2x + 5$;

4) $y = x^4 - 22$.

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций является чётной, необходимо проверить выполнение условия чётности для каждой из них. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. При этом область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1) $y = x^3 + \frac{2}{x^2}$

Пусть $f(x) = x^3 + \frac{2}{x^2}$. Область определения этой функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, что является симметричным множеством.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 + \frac{2}{(-x)^2} = -x^3 + \frac{2}{x^2}$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией $f(x) = x^3 + \frac{2}{x^2}$.

Поскольку $f(-x) = -x^3 + \frac{2}{x^2} \neq x^3 + \frac{2}{x^2} = f(x)$, функция не является чётной. Данная функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Ответ: не является чётной.

2) $y = -x^3 + \frac{1}{x}$

Пусть $f(x) = -x^3 + \frac{1}{x}$. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество симметричное.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -(-x)^3 + \frac{1}{(-x)} = -(-x^3) - \frac{1}{x} = x^3 - \frac{1}{x}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x) = -x^3 + \frac{1}{x}$.

Поскольку $f(-x) = x^3 - \frac{1}{x} \neq -x^3 + \frac{1}{x} = f(x)$, функция не является чётной. Однако, если мы сравним $f(-x)$ с $-f(x) = -(-x^3 + \frac{1}{x}) = x^3 - \frac{1}{x}$, то увидим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, эта функция является нечётной.

Ответ: не является чётной.

3) $y = x^2 - 2x + 5$

Пусть $f(x) = x^2 - 2x + 5$. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество симметричное.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 5 = x^2 + 2x + 5$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x) = x^2 - 2x + 5$.

Поскольку $f(-x) = x^2 + 2x + 5 \neq x^2 - 2x + 5 = f(x)$ (равенство выполняется только при $x=0$), функция не является чётной. Эта функция является функцией общего вида.

Ответ: не является чётной.

4) $y = x^4 - 22$

Пусть $f(x) = x^4 - 22$. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество симметричное.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 22$.

Так как показатель степени 4 является чётным числом, $(-x)^4 = x^4$.

Следовательно, $f(-x) = x^4 - 22$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x) = x^4 - 22$.

Поскольку $f(-x) = x^4 - 22 = f(x)$ для всех $x$ из области определения, данная функция является чётной.

Ответ: является чётной.