Номер 145, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

145 Укажите функцию, которая является нечётной.

1) $y = x^3 + 3x + 1;$

2) $y = x^4 - \frac{1}{x^2};$

3) $y = x^3 + \frac{2}{x};$

4) $y = x^4 + x.$

Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняются два условия:
1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

1) $y = x^3 + 3x + 1$
Обозначим функцию как $f(x) = x^3 + 3x + 1$.
Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.
Теперь найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 + 3(-x) + 1 = -x^3 - 3x + 1$.
Сравним полученное выражение с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 + 3x + 1) = -x^3 - 3x - 1$.
Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечётной. (Она также не является и чётной, так как $f(-x) \neq f(x)$).
Ответ: данная функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

2) $y = x^4 - \frac{1}{x^2}$
Обозначим функцию как $f(x) = x^4 - \frac{1}{x^2}$.
Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^4 - \frac{1}{(-x)^2} = x^4 - \frac{1}{x^2}$.
Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
Ответ: данная функция является чётной.

3) $y = x^3 + \frac{2}{x}$
Обозначим функцию как $f(x) = x^3 + \frac{2}{x}$.
Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 + \frac{2}{(-x)} = -x^3 - \frac{2}{x}$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 + \frac{2}{x}) = -x^3 - \frac{2}{x}$.
Сравнивая $f(-x)$ с $-f(x)$, видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: данная функция является нечётной.

4) $y = x^4 + x$
Обозначим функцию как $f(x) = x^4 + x$.
Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^4 + (-x) = x^4 - x$.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^4 + x) = -x^4 - x$.
Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечётной. (Она также не является и чётной, так как $f(-x) \neq f(x)$).
Ответ: данная функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).