Номер 147, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

147 Задайте аналитически кубическую параболу, график которой изображён на рис. 92.

1) $y = x^3$;

2) $y = x^3 + 2$;

3) $y = (x - 2)^3$;

4) $y = (x + 1)^3 - 2$.

Рис. 92

Для того чтобы определить, какая из предложенных формул задает кубическую параболу на графике, найдем характеристики изображенной функции, сравнив ее с базовой функцией $y = x^3$.

График базовой кубической параболы $y = x^3$ симметричен относительно начала координат, и его точка перегиба находится в точке $(0, 0)$.

График на рисунке 92 получен путем сдвига (параллельного переноса) графика функции $y = x^3$. Найдем на графике новую точку перегиба. Это точка, в которой кривая меняет свою вогнутость на выпуклость. По рисунку видно, что координаты этой точки — $(-1, -2)$.

Сдвиг точки перегиба из $(0, 0)$ в $(-1, -2)$ означает, что график был смещен на 1 единицу влево по оси абсцисс ($Ox$) и на 2 единицы вниз по оси ординат ($Oy$).

Общее уравнение для такого преобразования имеет вид $y = (x - h)^3 + k$, где $h$ — величина сдвига по горизонтали, а $k$ — по вертикали. В нашем случае $h = -1$ и $k = -2$.

Подставив эти значения, получаем уравнение графика: $y = (x - (-1))^3 + (-2)$ $y = (x + 1)^3 - 2$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

1) $y = x^3$

Эта функция имеет точку перегиба в начале координат $(0, 0)$, что не соответствует графику на рисунке.

2) $y = x^3 + 2$

Эта функция является результатом сдвига графика $y = x^3$ на 2 единицы вверх. Ее точка перегиба находится в $(0, 2)$, что не соответствует графику.

3) $y = (x - 2)^3$

Эта функция является результатом сдвига графика $y = x^3$ на 2 единицы вправо. Ее точка перегиба находится в $(2, 0)$, что не соответствует графику.

4) $y = (x + 1)^3 - 2$

Эта функция является результатом сдвига графика $y = x^3$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Ее точка перегиба — $(-1, -2)$, что полностью совпадает с положением точки перегиба на графике. Для дополнительной проверки можно взять любую другую точку с графика, например, $(0, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $y(0) = (0+1)^3 - 2 = 1^3 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику функции. Следовательно, это правильный вариант.

Ответ: 4) $y = (x + 1)^3 - 2$.