Номер 105, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Итоговое повторение. Модуль «Алгебра». Функции и графики - номер 105, страница 159.

Условие.

105 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 - 18x + 81$ принимает неположительные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $9$;

4) $(-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = x^2 - 18x + 81$ принимает неположительные значения, необходимо решить неравенство $y \le 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $x^2 - 18x + 81 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой квадратный трехчлен. Заметим, что его можно свернуть по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=9$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = (x-9)^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде: $(x-9)^2 \le 0$

Выражение в левой части, $(x-9)^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-9)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Следовательно, неравенство $(x-9)^2 \le 0$ выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю, так как она не может быть строго меньше нуля. $(x-9)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем: $x - 9 = 0$ $x = 9$

Итак, функция принимает неположительное (а именно, равное нулю) значение только при $x=9$.

Ответ: 9