Номер 103, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

103 При каких значениях x функция $y = -x^2 + 8x + 20$ принимает неположительные значения?

1) $(-\infty; -2] \cup [10; +\infty);$

2) $[-2; 10];$

3) $(-\infty; -2];$

4) $(-\infty; -10] \cup [2; +\infty).$

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, для которых функция $y = -x^2 + 8x + 20$ принимает неположительные значения. "Неположительные значения" означает, что $y \le 0$. Таким образом, нам нужно решить неравенство:
$-x^2 + 8x + 20 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства методом интервалов, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
$-x^2 + 8x + 20 = 0$

Для удобства умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 8x - 20 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=-20$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Корни уравнения вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-(-8) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Корни $x=-2$ и $x=10$ являются точками, в которых парабола $y = -x^2 + 8x + 20$ пересекает ось $x$. Коэффициент при $x^2$ в исходной функции отрицателен ($a = -1$), что означает, что ветви параболы направлены вниз.

Парабола с ветвями вниз принимает неположительные значения ($y \le 0$) на участках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни. Следовательно, решением неравенства является объединение промежутков:
$x \in (-\infty; -2] \cup [10; +\infty)$.

Данное решение соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [10; +\infty)$.