Номер 104, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

104 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 + 8x + 16$ принимает положительные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$;

4) $[0; +\infty)$.

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ функция $y = x^2 + 8x + 16$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Подставим выражение для $y$ в неравенство:

$x^2 + 8x + 16 > 0$

Решить это неравенство можно несколькими способами.

Способ 1: Разложение на множители

Заметим, что выражение в левой части неравенства является полным квадратом. Оно соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим:

• $a^2 = x^2$
• $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$
• $b^2 = 4^2 = 16$

Следовательно, мы можем свернуть выражение:

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$

Теперь неравенство принимает вид:

$(x+4)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+4)^2 \ge 0$. Нам нужно найти, когда это выражение строго больше нуля. Равенство нулю достигается только в одном случае:

$x+4 = 0 \implies x = -4$

При $x = -4$ значение функции равно $y = (-4+4)^2 = 0$, что не является положительным значением. Для всех остальных значений $x$ (т.е. при $x \neq -4$) квадрат $(x+4)^2$ будет строго положительным.

Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $-4$.

Способ 2: Анализ квадратичной функции

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 8x + 16$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $x^2 + 8x + 16 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю, парабола имеет только одну точку пересечения с осью Ox, которая является вершиной параболы. Координата $x$ этой точки:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$

Это означает, что парабола касается оси Ox в точке $x = -4$ (где $y=0$) и расположена полностью выше оси Ox для всех остальных значений $x$. Следовательно, функция принимает положительные значения при всех $x$, кроме $x=-4$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: функция положительна при $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$