Номер 93, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

93 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 73.

1) $y = 2x^2 + 8x + 17;$

2) $y = x^2 - 8x + 15;$

3) $y = x^2 + 8x + 17;$

4) $y = x^2 - 8x + 17.$

Рис. 73

Для того чтобы определить, какая из предложенных квадратичных функций соответствует графику, найдем координаты вершины параболы, изображенной на рисунке, и затем проверим, какая из функций имеет такую же вершину.

Из графика видно, что вершина параболы — это ее точка минимума. Координаты этой точки: абсцисса $x_v = 4$ и ордината $y_v = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(4, 1)$.

Теперь последовательно проверим каждый из предложенных вариантов. Координата $x$ вершины параболы, заданной в виде $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_v = -b/(2a)$.

1) $y = 2x^2 + 8x + 17$
В этом уравнении коэффициенты $a = 2$ и $b = 8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -8 / (2 \cdot 2) = -8 / 4 = -2$.
Это значение ($x_v = -2$) не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = 4$). Следовательно, этот вариант неверный.

2) $y = x^2 - 8x + 15$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = -8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-8) / (2 \cdot 1) = 8 / 2 = 4$.
Абсцисса совпадает с той, что на графике. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v = 4$ в уравнение функции:
$y_v = (4)^2 - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.
Координаты вершины $(4, -1)$ не совпадают с координатами вершины на графике $(4, 1)$. Следовательно, этот вариант неверный.

3) $y = x^2 + 8x + 17$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = 8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -8 / (2 \cdot 1) = -4$.
Это значение ($x_v = -4$) не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = 4$). Следовательно, этот вариант неверный.

4) $y = x^2 - 8x + 17$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = -8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-8) / (2 \cdot 1) = 8 / 2 = 4$.
Абсцисса совпадает. Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 4$ в уравнение функции:
$y_v = (4)^2 - 8(4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$.
Координаты вершины $(4, 1)$ полностью совпадают с координатами вершины на графике. Следовательно, этот вариант верный.

Ответ: 4) $y = x^2 - 8x + 17$.