Номер 95, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

95 a) Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 - 2x + 3$ на отрезке $[-2; -1]$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 - 4x + 5$ на отрезке $[-1; 0]$.

а)

Для нахождения наименьшего значения квадратичной функции $y = x^2 - 2x + 3$ на отрезке $[-2; -1]$ необходимо исследовать её поведение на этом отрезке. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

1. Найдем координату x вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a = 1$, $b = -2$.
$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

2. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x_0 = 1$ заданному отрезку $[-2; -1]$.
Поскольку $1$ не входит в отрезок $[-2; -1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться на одном из его концов.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка, то есть при $x = -2$ и $x = -1$.
При $x = -2$:
$y(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$.
При $x = -1$:
$y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$.

4. Сравниваем полученные значения: $11$ и $6$. Наименьшее из них равно $6$.

Ответ: 6.

б)

Для нахождения наибольшего значения квадратичной функции $y = -x^2 - 4x + 5$ на отрезке $[-1; 0]$ выполним аналогичные действия. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы.

1. Найдем координату x вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a = -1$, $b = -4$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$.

2. Проверим, принадлежит ли точка вершины $x_0 = -2$ заданному отрезку $[-1; 0]$.
Поскольку $-2$ не входит в отрезок $[-1; 0]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться на одном из его концов.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка, то есть при $x = -1$ и $x = 0$.
При $x = -1$:
$y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) + 5 = -1 + 4 + 5 = 8$.
При $x = 0$:
$y(0) = -(0)^2 - 4(0) + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$.

4. Сравниваем полученные значения: $8$ и $5$. Наибольшее из них равно $8$.

Ответ: 8.