Страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

45 Укажите номера тождественно равных выражений.

1) $x^2 - 4y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$;

2) $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$;

3) $x^2 - 8xy + 16y^2 = (4y - x)^2$;

4) $x^2 - 4y^2 = - (2y - x)(2y + x)$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных равенств являются тождествами, необходимо проверить каждое из них путем преобразования одной из частей равенства и сравнения ее с другой.

1) $x^2 - 4y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$

Рассмотрим правую часть равенства. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = x$, а $b = 4y$.

$(x - 4y)(x + 4y) = x^2 - (4y)^2 = x^2 - 16y^2$.

Сравним результат с левой частью равенства: $x^2 - 4y^2 \neq x^2 - 16y^2$.

Поскольку левая и правая части не равны, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

2) $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$

Рассмотрим правую часть равенства. Раскроем скобки путем перемножения многочленов:

$(x - 4)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 - 4 \cdot x - 4 \cdot 1 = x^2 + x - 4x - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (1-4)x - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Результат совпадает с левой частью равенства: $x^2 - 3x - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) $x^2 - 8xy + 16y^2 = (4y - x)^2$

Рассмотрим правую часть равенства. Применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 4y$, а $b = x$.

$(4y - x)^2 = (4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot x + x^2 = 16y^2 - 8xy + x^2$.

Переставим слагаемые, чтобы упорядочить выражение по степеням $x$:

$x^2 - 8xy + 16y^2$.

Результат совпадает с левой частью равенства: $x^2 - 8xy + 16y^2 = x^2 - 8xy + 16y^2$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

4) $x^2 - 4y^2 = -(2y - x)(2y + x)$

Рассмотрим правую часть равенства. Сначала преобразуем произведение в скобках, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 2y$ и $b = x$.

$(2y - x)(2y + x) = (2y)^2 - x^2 = 4y^2 - x^2$.

Теперь подставим это в правую часть исходного равенства:

$-(4y^2 - x^2) = -4y^2 + x^2$.

Переставим слагаемые: $x^2 - 4y^2$.

Результат совпадает с левой частью равенства: $x^2 - 4y^2 = x^2 - 4y^2$.

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

Таким образом, тождествами являются выражения под номерами 2, 3 и 4.

46 Укажите номера тождественно равных выражений.

1) $9x^2 + y^2 = (3x - y)(3x + y)$;

2) $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x + y)^2$;

3) $9 - y - 8y^2 = (1 - y)(9 + 8y)$;

4) $9x^2 - y^2 = (y - 3x)(-y - 3x).$

Для того чтобы определить, какие из равенств являются тождествами, необходимо преобразовать одну из частей каждого равенства (обычно ту, что содержит скобки) и сравнить результат с другой частью.

1) $9x^2 + y^2 = (3x - y)(3x + y)$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 3x$, $b = y$.

$(3x - y)(3x + y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.

Теперь сравним полученный результат с левой частью равенства:

$9x^2 + y^2 \neq 9x^2 - y^2$.

Выражения не равны.

Ответ: не является тождеством.

2) $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x + y)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 3x$, $b = y$.

$(3x + y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$.

Сравним результат с левой частью равенства:

$9x^2 - 6xy + y^2 \neq 9x^2 + 6xy + y^2$.

Выражения не равны. Стоит отметить, что левая часть является "квадратом разности": $9x^2 - 6xy + y^2 = (3x - y)^2$.

Ответ: не является тождеством.

3) $9 - y - 8y^2 = (1 - y)(9 + 8y)$

Раскроем скобки в правой части, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(1 - y)(9 + 8y) = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 8y - y \cdot 9 - y \cdot 8y = 9 + 8y - 9y - 8y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$9 + (8y - 9y) - 8y^2 = 9 - y - 8y^2$.

Сравним результат с левой частью равенства:

$9 - y - 8y^2 = 9 - y - 8y^2$.

Выражения тождественно равны.

Ответ: является тождеством.

4) $9x^2 - y^2 = (y - 3x)(-y - 3x)$

Раскроем скобки в правой части. Можно вынести знак минус из второй скобки:

$(y - 3x)(-y - 3x) = (y - 3x) \cdot (-1) \cdot (y + 3x) = -(y - 3x)(y + 3x)$.

Теперь к выражению в скобках применим формулу разности квадратов:

$-(y^2 - (3x)^2) = -(y^2 - 9x^2) = -y^2 + 9x^2 = 9x^2 - y^2$.

Сравним результат с левой частью равенства:

$9x^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.

Выражения тождественно равны.

Ответ: является тождеством.

Таким образом, тождествами являются равенства под номерами 3 и 4.

47 Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(x + 2x)^2 - 4x(2x + y)$;

б) $(2x - y)^2 - 2x(x - 2y)$.

а)

Чтобы преобразовать выражение $(x + 2x)^2 - 4x(2x + y)$ в многочлен стандартного вида, выполним следующие шаги.

1. Сначала упростим выражение в первых скобках:
$x + 2x = 3x$

Теперь исходное выражение принимает вид:
$(3x)^2 - 4x(2x + y)$

2. Возведем в квадрат первый член:
$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$

3. Раскроем скобки во втором члене, используя распределительный закон умножения (умножим $-4x$ на каждый член в скобках):
$-4x(2x + y) = (-4x) \cdot (2x) + (-4x) \cdot (y) = -8x^2 - 4xy$

4. Подставим полученные результаты в выражение и приведем подобные слагаемые:
$9x^2 - 8x^2 - 4xy = (9-8)x^2 - 4xy = x^2 - 4xy$

Ответ: $x^2 - 4xy$

б)

Чтобы преобразовать выражение $(2x - y)^2 - 2x(x - 2y)$ в многочлен стандартного вида, выполним следующие шаги.

1. Раскроем первую скобку, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2x$ и $b = y$:
$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

2. Раскроем скобки во втором члене, умножив $-2x$ на каждый член в скобках:
$-2x(x - 2y) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-2y) = -2x^2 + 4xy$

3. Объединим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4xy + y^2) + (-2x^2 + 4xy) = 4x^2 - 4xy + y^2 - 2x^2 + 4xy$

Сгруппируем подобные члены:
$(4x^2 - 2x^2) + (-4xy + 4xy) + y^2 = 2x^2 + 0 + y^2 = 2x^2 + y^2$

Ответ: $2x^2 + y^2$

48 Упростите выражение:

a) $(3a + 6)(a - 2) - (2a - 1)^2$;

б) $(2a - 6)(a + 3) - (3a + 1)^2$.

а) $(3a + 6)(a - 2) - (2a - 1)^2$

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Сначала раскроем произведение скобок $(3a + 6)(a - 2)$. Для удобства вынесем общий множитель 3 из первой скобки:

$(3a + 6)(a - 2) = 3(a + 2)(a - 2)$

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$3(a^2 - 2^2) = 3(a^2 - 4) = 3a^2 - 12$

2. Далее раскроем скобку $(2a - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

3. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(3a^2 - 12) - (4a^2 - 4a + 1)$

Раскроем вторые скобки, изменив знак каждого слагаемого внутри на противоположный, так как перед скобкой стоит знак минус:

$3a^2 - 12 - 4a^2 + 4a - 1$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - 4a^2) + 4a + (-12 - 1) = -a^2 + 4a - 13$

Ответ: $-a^2 + 4a - 13$

б) $(2a - 6)(a + 3) - (3a + 1)^2$

Упростим это выражение аналогичным образом.

1. Раскроем произведение $(2a - 6)(a + 3)$. Вынесем общий множитель 2 из первой скобки:

$(2a - 6)(a + 3) = 2(a - 3)(a + 3)$

Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$2(a^2 - 3^2) = 2(a^2 - 9) = 2a^2 - 18$

2. Раскроем скобку $(3a + 1)^2$, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(3a + 1)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1$

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(2a^2 - 18) - (9a^2 + 6a + 1)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$2a^2 - 18 - 9a^2 - 6a - 1$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 - 9a^2) - 6a + (-18 - 1) = -7a^2 - 6a - 19$

Ответ: $-7a^2 - 6a - 19$

49 Укажите алгебраические дроби, тождественно равные дроби $ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

1) $ -\frac{m + 2n}{3n - 4m} $;

2) $ \frac{-m - 2n}{3n - 4m} $;

3) $ -\frac{-m - 2n}{4m - 3n} $;

4) $ \frac{-m - 2n}{4m - 3n} $.

Для того чтобы определить, какие из предложенных дробей тождественно равны исходной дроби $ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $, преобразуем каждую из них и сравним с исходной. Два алгебраических выражения называются тождественно равными, если их значения равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Будем использовать следующие свойства дробей: $ -\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} $ и $ \frac{-A}{-B} = \frac{A}{B} $.

1) Рассмотрим дробь $ -\frac{m + 2n}{3n - 4m} $.

Внесем знак "минус", стоящий перед дробью, в знаменатель:

$ -\frac{m + 2n}{3n - 4m} = \frac{m + 2n}{-(3n - 4m)} = \frac{m + 2n}{-3n + 4m} $.

Изменив порядок слагаемых в знаменателе, получаем:

$ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

Эта дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: данная дробь тождественно равна исходной.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{-m - 2n}{3n - 4m} $.

Вынесем множитель $ -1 $ за скобки и в числителе, и в знаменателе:

$ \frac{-m - 2n}{3n - 4m} = \frac{-(m + 2n)}{-(4m - 3n)} $.

Сократим множители $ -1 $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

Эта дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: данная дробь тождественно равна исходной.

3) Рассмотрим дробь $ -\frac{-m - 2n}{4m - 3n} $.

Внесем знак "минус", стоящий перед дробью, в числитель:

$ -\frac{-m - 2n}{4m - 3n} = \frac{-(-m - 2n)}{4m - 3n} = \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

Эта дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: данная дробь тождественно равна исходной.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{-m - 2n}{4m - 3n} $.

Вынесем множитель $ -1 $ за скобки в числителе:

$ \frac{-(m + 2n)}{4m - 3n} $.

Это выражение равно $ -\frac{m + 2n}{4m - 3n} $, что является противоположным исходной дроби.

Ответ: данная дробь не является тождественно равной исходной.

50 Укажите алгебраические дроби, тождественно равные дроби

$ \frac{3m - n}{4m + 3n} $

1) $ \frac{n - 3m}{3n + 4m} $;

2) $ \frac{-3m + n}{-3n - 4m} $;

3) $ -\frac{n - 3m}{4m + 3n} $;

4) $ \frac{n - 3m}{-4m - 3n} $.

Чтобы найти алгебраические дроби, тождественно равные исходной дроби $\frac{3m - n}{4m + 3n}$, мы проанализируем каждую из предложенных опций, используя тождественные преобразования. Основное свойство, которое нам понадобится: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число (в данном случае на $-1$), то получится дробь, равная данной. То есть, $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$.

1) $\frac{n - 3m}{3n + 4m}$

Преобразуем числитель, вынеся за скобки $-1$: $n - 3m = -(3m - n)$.

Знаменатель можно переписать как $3n + 4m = 4m + 3n$.

Тогда дробь имеет вид: $\frac{-(3m - n)}{4m + 3n} = -\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Эта дробь является противоположной исходной, а не равной ей.

Ответ: не равна.

2) $\frac{-3m + n}{-3n - 4m}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $-3m + n = n - 3m = -(3m - n)$.

Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $-3n - 4m = -(3n + 4m) = -(4m + 3n)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{-(3m - n)}{-(4m + 3n)}$.

Сократив общий множитель $-1$, получаем: $\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Эта дробь тождественно равна исходной.

Ответ: равна.

3) $-\frac{n - 3m}{4m + 3n}$

Рассмотрим дробь $\frac{n - 3m}{4m + 3n}$. Преобразуем ее числитель: $n - 3m = -(3m - n)$.

Тогда дробь равна $\frac{-(3m - n)}{4m + 3n} = -\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Теперь подставим это в исходное выражение с минусом перед дробью: $-\left(-\frac{3m - n}{4m + 3n}\right)$.

Два минуса дают плюс, поэтому получаем: $\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Это выражение тождественно равно исходной дроби.

Ответ: равна.

4) $\frac{n - 3m}{-4m - 3n}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $n - 3m = -(3m - n)$.

Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $-4m - 3n = -(4m + 3n)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{-(3m - n)}{-(4m + 3n)}$.

Сократив общий множитель $-1$, получаем: $\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Эта дробь тождественно равна исходной.

Ответ: равна.

51 a) Найдите значение выражения $\frac{4a^2 - 25}{15 - 6a}$ при $a = 0,05$.

б) Найдите значение выражения $\frac{-15x - 40}{64 - 9x^2}$ при $x = -\frac{2}{3}$.

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{4a^2 - 25}{15 - 6a}$ при $a = 0,05$, сначала упростим его.
Числитель $4a^2 - 25$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$4a^2 - 25 = (2a)^2 - 5^2 = (2a - 5)(2a + 5)$.
В знаменателе $15 - 6a$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$15 - 6a = 3(5 - 2a)$.
Теперь запишем дробь в новом виде:
$\frac{(2a - 5)(2a + 5)}{3(5 - 2a)}$
Заметим, что выражения $(2a - 5)$ и $(5 - 2a)$ являются противоположными, то есть $(5 - 2a) = -(2a - 5)$. Заменим это в знаменателе:
$\frac{(2a - 5)(2a + 5)}{3 \cdot (-(2a-5))} = \frac{(2a - 5)(2a + 5)}{-3(2a - 5)}$
Сократим дробь на общий множитель $(2a - 5)$:
$\frac{2a + 5}{-3} = -\frac{2a + 5}{3}$
Теперь подставим значение $a = 0,05$ в упрощенное выражение:
$-\frac{2 \cdot 0,05 + 5}{3} = -\frac{0,1 + 5}{3} = -\frac{5,1}{3} = -1,7$
Ответ: -1,7

б)

Чтобы найти значение выражения $\frac{-15x - 40}{64 - 9x^2}$ при $x = -\frac{2}{3}$, сначала упростим его.
В числителе $-15x - 40$ вынесем общий множитель -5 за скобки:
$-15x - 40 = -5(3x + 8)$.
Знаменатель $64 - 9x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$64 - 9x^2 = 8^2 - (3x)^2 = (8 - 3x)(8 + 3x)$.
Теперь запишем дробь в новом виде:
$\frac{-5(3x + 8)}{(8 - 3x)(8 + 3x)}$
Сократим дробь на общий множитель $(3x + 8)$, так как $(8 + 3x) = (3x + 8)$:
$\frac{-5}{8 - 3x}$
Теперь подставим значение $x = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:
$\frac{-5}{8 - 3 \cdot (-\frac{2}{3})} = \frac{-5}{8 - (-2)} = \frac{-5}{8 + 2} = \frac{-5}{10} = -0,5$
Ответ: -0,5

52 a) Найдите значение выражения $ \frac{a^2 - 16a + 64}{64 - 8a} $ при $ a = -0,4 $.

б) Найдите значение выражения $ \frac{36 - y^2}{y^2 - 12y + 36} $ при $ y = \frac{2}{3} $.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{a^2 - 16a + 64}{64 - 8a}$ при $a = -0,4$, сначала упростим его.

Числитель $a^2 - 16a + 64$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$, $y=8$, поэтому $a^2 - 16a + 64 = (a-8)^2$.

В знаменателе $64 - 8a$ вынесем общий множитель 8 за скобки: $64 - 8a = 8(8 - a)$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $\frac{(a-8)^2}{8(8-a)}$.

Заметим, что выражения $(a-8)$ и $(8-a)$ являются противоположными, то есть $a-8 = -(8-a)$. Тогда мы можем переписать дробь следующим образом, чтобы сократить её: $\frac{(a-8)^2}{8(8-a)} = \frac{(a-8)(a-8)}{-8(a-8)}$.

При $a \neq 8$ можно сократить на $(a-8)$: $\frac{a-8}{-8} = \frac{-(8-a)}{-8} = \frac{8-a}{8}$.

Теперь подставим значение $a = -0,4$ в упрощенное выражение: $\frac{8 - (-0,4)}{8} = \frac{8 + 0,4}{8} = \frac{8,4}{8} = 1,05$.

Ответ: $1,05$.

б) Для нахождения значения выражения $\frac{36 - y^2}{y^2 - 12y + 36}$ при $y = \frac{2}{3}$, сначала упростим его.

Числитель $36 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a=6$, $b=y$, поэтому $36 - y^2 = (6-y)(6+y)$.

Знаменатель $y^2 - 12y + 36$ является полным квадратом разности. По формуле $(x-z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$, где $x=y$ и $z=6$, получаем $y^2 - 12y + 36 = (y-6)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{(6-y)(6+y)}{(y-6)^2}$.

Заметим, что $6-y = -(y-6)$, а $(y-6)^2 = (y-6)(y-6)$. $\frac{-(y-6)(y+6)}{(y-6)(y-6)}$.

При $y \neq 6$ можно сократить на $(y-6)$: $\frac{-(y+6)}{y-6} = \frac{y+6}{-(y-6)} = \frac{y+6}{6-y}$.

Теперь подставим значение $y = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение: $\frac{\frac{2}{3} + 6}{6 - \frac{2}{3}}$.

Вычислим числитель и знаменатель дроби:
Числитель: $\frac{2}{3} + 6 = \frac{2}{3} + \frac{18}{3} = \frac{20}{3}$.
Знаменатель: $6 - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{20}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{20}{3} \cdot \frac{3}{16} = \frac{20}{16}$.

Сократим полученную дробь на 4: $\frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.