Номер 50, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

50 Укажите алгебраические дроби, тождественно равные дроби

$ \frac{3m - n}{4m + 3n} $

1) $ \frac{n - 3m}{3n + 4m} $;

2) $ \frac{-3m + n}{-3n - 4m} $;

3) $ -\frac{n - 3m}{4m + 3n} $;

4) $ \frac{n - 3m}{-4m - 3n} $.

Чтобы найти алгебраические дроби, тождественно равные исходной дроби $\frac{3m - n}{4m + 3n}$, мы проанализируем каждую из предложенных опций, используя тождественные преобразования. Основное свойство, которое нам понадобится: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число (в данном случае на $-1$), то получится дробь, равная данной. То есть, $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$.

1) $\frac{n - 3m}{3n + 4m}$

Преобразуем числитель, вынеся за скобки $-1$: $n - 3m = -(3m - n)$.

Знаменатель можно переписать как $3n + 4m = 4m + 3n$.

Тогда дробь имеет вид: $\frac{-(3m - n)}{4m + 3n} = -\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Эта дробь является противоположной исходной, а не равной ей.

Ответ: не равна.

2) $\frac{-3m + n}{-3n - 4m}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $-3m + n = n - 3m = -(3m - n)$.

Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $-3n - 4m = -(3n + 4m) = -(4m + 3n)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{-(3m - n)}{-(4m + 3n)}$.

Сократив общий множитель $-1$, получаем: $\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Эта дробь тождественно равна исходной.

Ответ: равна.

3) $-\frac{n - 3m}{4m + 3n}$

Рассмотрим дробь $\frac{n - 3m}{4m + 3n}$. Преобразуем ее числитель: $n - 3m = -(3m - n)$.

Тогда дробь равна $\frac{-(3m - n)}{4m + 3n} = -\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Теперь подставим это в исходное выражение с минусом перед дробью: $-\left(-\frac{3m - n}{4m + 3n}\right)$.

Два минуса дают плюс, поэтому получаем: $\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Это выражение тождественно равно исходной дроби.

Ответ: равна.

4) $\frac{n - 3m}{-4m - 3n}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе: $n - 3m = -(3m - n)$.

Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $-4m - 3n = -(4m + 3n)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{-(3m - n)}{-(4m + 3n)}$.

Сократив общий множитель $-1$, получаем: $\frac{3m - n}{4m + 3n}$.

Эта дробь тождественно равна исходной.

Ответ: равна.