Номер 43, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

43 Упростите выражение $\frac{(10x^4y^{-3})^4}{16x^8 \cdot (25x^2y^{-2})^3}$.

1) $\frac{y^5}{5x^5}$;

2) $\frac{x^2}{25y^6}$;

3) $\frac{x^6y^6}{25}$;

4) $-\frac{10}{x^6y^{18}}$.

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$ \frac{(10x^4y^{-3})^4}{16x^8 \cdot (25x^2y^{-2})^3} $

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правило возведения произведения в степень $ (ab)^n = a^n b^n $ и правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $.

Для числителя:

$ (10x^4y^{-3})^4 = 10^4 \cdot (x^4)^4 \cdot (y^{-3})^4 = 10^4 x^{16} y^{-12} $

Для второго множителя в знаменателе:

$ (25x^2y^{-2})^3 = 25^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^{-2})^3 = 25^3 x^6 y^{-6} $

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{10^4 x^{16} y^{-12}}{16x^8 \cdot 25^3 x^6 y^{-6}} $

3. В знаменателе перемножим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ 16x^8 \cdot 25^3 x^6 y^{-6} = 16 \cdot 25^3 \cdot (x^8 x^6) \cdot y^{-6} = 16 \cdot 25^3 \cdot x^{14} \cdot y^{-6} $

4. Выражение примет вид:

$ \frac{10^4 x^{16} y^{-12}}{16 \cdot 25^3 x^{14} y^{-6}} $

5. Теперь упростим числовые коэффициенты, представив их в виде степеней простых чисел ($10 = 2 \cdot 5$, $16 = 2^4$, $25 = 5^2$):

$ \frac{10^4}{16 \cdot 25^3} = \frac{(2 \cdot 5)^4}{2^4 \cdot (5^2)^3} = \frac{2^4 \cdot 5^4}{2^4 \cdot 5^6} = 2^{4-4} \cdot 5^{4-6} = 2^0 \cdot 5^{-2} = 1 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $

6. Упростим степени с переменными, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^{16}}{x^{14}} = x^{16-14} = x^2 $

$ \frac{y^{-12}}{y^{-6}} = y^{-12 - (-6)} = y^{-12+6} = y^{-6} $

7. Соберем все упрощенные части вместе:

$ \frac{1}{25} \cdot x^2 \cdot y^{-6} $

8. Запишем итоговое выражение, используя определение степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ \frac{x^2}{25y^6} $

Данный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $ \frac{x^2}{25y^6} $