Номер 40, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

40 Упростите выражение $(3xy)^3 \cdot (3x^{-1}y)^{-2} : (9x^3y^4)$.

1) $\frac{1}{3x^3y}$;

2) $\frac{1}{3} x^2y^{-3}$;

3) $\frac{1}{3} x^3y^8$;

4) $\frac{1}{3} x^{-3}y^7$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо последовательно выполнить действия, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $(3xy)^3 \cdot (3x^{-1}y)^{-2} : (9x^3y^4)$.

1. Возведение в степень.

Сначала упростим каждый из трех одночленов в выражении.

Первый множитель: для возведения произведения в степень используем правило $(ab)^n = a^n b^n$.

$(3xy)^3 = 3^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 27x^3y^3$

Второй множитель: используем правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(3x^{-1}y)^{-2} = 3^{-2} \cdot (x^{-1})^{-2} \cdot y^{-2} = \frac{1}{3^2} \cdot x^{(-1) \cdot (-2)} \cdot y^{-2} = \frac{1}{9}x^2y^{-2}$

Третий одночлен (делитель) уже в стандартном виде: $9x^3y^4$.

2. Умножение и деление.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное и выполним умножение и деление. Запишем выражение в виде дроби для удобства:

$\frac{(3xy)^3 \cdot (3x^{-1}y)^{-2}}{9x^3y^4} = \frac{(27x^3y^3) \cdot (\frac{1}{9}x^2y^{-2})}{9x^3y^4}$

Сначала выполним умножение в числителе. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и применим правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$27x^3y^3 \cdot \frac{1}{9}x^2y^{-2} = (27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^3 \cdot y^{-2}) = 3 \cdot x^{3+2} \cdot y^{3+(-2)} = 3x^5y^1 = 3x^5y$

Теперь разделим полученный результат на знаменатель. Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3x^5y}{9x^3y^4} = \frac{3}{9} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^1}{y^4} = \frac{1}{3} \cdot x^{5-3} \cdot y^{1-4} = \frac{1}{3}x^2y^{-3}$

Таким образом, мы упростили выражение. Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2.

Ответ: $\frac{1}{3}x^2y^{-3}$.