Номер 42, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

42 Упростите выражение $\frac{(6ab^3)^3 \cdot 3a^{-9}}{(2a^{-2}b)^3}$.

1) $81b^6$;

2) $81a^{-12}b^6$;

3) $\frac{1}{729}a^{-12}b^6$;

4) $12b^3$.

Упростите выражение

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно выполнить действия со степенями и коэффициентами.

Исходное выражение:

$$ \frac{(6ab^3)^3 \cdot 3a^{-9}}{(2a^{-2}b)^3} $$

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Выражение в числителе:$(6ab^3)^3 = 6^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = 216 \cdot a^3 \cdot b^{3 \cdot 3} = 216a^3b^9$.

Выражение в знаменателе:$(2a^{-2}b)^3 = 2^3 \cdot (a^{-2})^3 \cdot b^3 = 8 \cdot a^{-2 \cdot 3} \cdot b^3 = 8a^{-6}b^3$.

2. Подставим полученные результаты обратно в дробь:

$$ \frac{216a^3b^9 \cdot 3a^{-9}}{8a^{-6}b^3} $$

3. Теперь упростим числитель. Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).

Коэффициенты: $216 \cdot 3 = 648$.

Степени с основанием $a$: $a^3 \cdot a^{-9} = a^{3+(-9)} = a^{-6}$.

Таким образом, числитель равен $648a^{-6}b^9$.

4. Запишем выражение с упрощенным числителем:

$$ \frac{648a^{-6}b^9}{8a^{-6}b^3} $$

5. Разделим числитель на знаменатель. Для этого разделим коэффициенты и применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$).

Делим коэффициенты: $\frac{648}{8} = 81$.

Делим степени с основанием $a$: $\frac{a^{-6}}{a^{-6}} = a^{-6 - (-6)} = a^{-6+6} = a^0 = 1$.

Делим степени с основанием $b$: $\frac{b^9}{b^3} = b^{9-3} = b^6$.

6. Соединим все части вместе, чтобы получить окончательный результат:

$81 \cdot 1 \cdot b^6 = 81b^6$.

Полученный результат $81b^6$ соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $81b^6$.