Номер 41, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

41 Упростите выражение $(7m^{-3}n^3) : (7m^5n^4)^{-2} \cdot (49m^{-1}n^{15})^{-1}$.

1) $\frac{1}{343m^{12}n^{20}}$;2) $\frac{49m^8}{n^4}$;3) $\frac{7}{m^9n^{18}}$;4) $\frac{7m^8}{n^4}$.

Для упрощения выражения необходимо последовательно выполнить все действия, применяя свойства степеней.

Исходное выражение: $(7m^{-3}n^3) : (7m^5n^4)^{-2} \cdot (49m^{-1}n^{15})^{-1}$.

1. Преобразование деления в умножение.
Операция деления на число в степени $-2$ эквивалентна умножению на это же число в степени $2$. Используем свойство $a : b^{-n} = a \cdot b^n$.

$(7m^{-3}n^3) \cdot (7m^5n^4)^{2} \cdot (49m^{-1}n^{15})^{-1}$

2. Раскрытие скобок.
Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(abc)^k = a^k b^k c^k$ и свойством возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$.

Для второго множителя:
$(7m^5n^4)^2 = 7^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (n^4)^2 = 49m^{10}n^8$.

Для третьего множителя, представив $49$ как $7^2$:
$(49m^{-1}n^{15})^{-1} = (7^2m^{-1}n^{15})^{-1} = (7^2)^{-1} \cdot (m^{-1})^{-1} \cdot (n^{15})^{-1} = 7^{-2}m^{(-1) \cdot (-1)}n^{15 \cdot (-1)} = 7^{-2}m^1n^{-15}$.

3. Подстановка упрощенных выражений.
Теперь подставим полученные выражения обратно:

$(7m^{-3}n^3) \cdot (49m^{10}n^8) \cdot (7^{-2}m^1n^{-15})$

4. Группировка и умножение.
Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и перемножим их, используя правило $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.

Коэффициенты: $7 \cdot 49 \cdot 7^{-2} = 7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^{-2} = 7^{1+2-2} = 7^1 = 7$.

Степени с основанием $m$: $m^{-3} \cdot m^{10} \cdot m^1 = m^{-3+10+1} = m^8$.

Степени с основанием $n$: $n^3 \cdot n^8 \cdot n^{-15} = n^{3+8-15} = n^{11-15} = n^{-4}$.

5. Запись итогового результата.
Собираем все части вместе, получаем $7m^8n^{-4}$.

Используя правило для отрицательной степени $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, запишем ответ в виде дроби:

$\frac{7m^8}{n^4}$

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $\frac{7m^8}{n^4}$