Номер 34, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

34 Найдите значение выражения:

a) $\\sqrt{(5 - \\sqrt{23})^2} + \\sqrt{(4 - \\sqrt{23})^2};$

б) $\\sqrt{(6 - \\sqrt{41})^2} + \\sqrt{(7 - \\sqrt{41})^2}.$

а) $\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{23})^2}$

Для решения воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применяя это свойство к каждому слагаемому, получаем:

$\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{23})^2} = |5 - \sqrt{23}| + |4 - \sqrt{23}|$

Теперь необходимо раскрыть модули. Для этого определим знак каждого выражения, стоящего под знаком модуля.

1. Рассмотрим выражение $5 - \sqrt{23}$. Сравним числа $5$ и $\sqrt{23}$. Для этого возведем их в квадрат:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{23})^2 = 23$

Поскольку $25 > 23$, то и $5 > \sqrt{23}$. Это означает, что разность $5 - \sqrt{23}$ положительна. Следовательно, $|5 - \sqrt{23}| = 5 - \sqrt{23}$.

2. Рассмотрим выражение $4 - \sqrt{23}$. Сравним числа $4$ и $\sqrt{23}$. Возведем их в квадрат:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{23})^2 = 23$

Поскольку $16 < 23$, то и $4 < \sqrt{23}$. Это означает, что разность $4 - \sqrt{23}$ отрицательна. Следовательно, $|4 - \sqrt{23}| = -(4 - \sqrt{23}) = -4 + \sqrt{23} = \sqrt{23} - 4$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение и выполним сложение:

$(5 - \sqrt{23}) + (\sqrt{23} - 4) = 5 - \sqrt{23} + \sqrt{23} - 4 = 5 - 4 = 1$

Ответ: $1$

б) $\sqrt{(6 - \sqrt{41})^2} + \sqrt{(7 - \sqrt{41})^2}$

Аналогично пункту а), используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(6 - \sqrt{41})^2} + \sqrt{(7 - \sqrt{41})^2} = |6 - \sqrt{41}| + |7 - \sqrt{41}|$

Определим знак каждого подмодульного выражения.

1. Рассмотрим выражение $6 - \sqrt{41}$. Сравним $6$ и $\sqrt{41}$ путем возведения в квадрат:

$6^2 = 36$

$(\sqrt{41})^2 = 41$

Так как $36 < 41$, то $6 < \sqrt{41}$. Значит, разность $6 - \sqrt{41}$ отрицательна. Поэтому, $|6 - \sqrt{41}| = -(6 - \sqrt{41}) = -6 + \sqrt{41} = \sqrt{41} - 6$.

2. Рассмотрим выражение $7 - \sqrt{41}$. Сравним $7$ и $\sqrt{41}$ путем возведения в квадрат:

$7^2 = 49$

$(\sqrt{41})^2 = 41$

Так как $49 > 41$, то $7 > \sqrt{41}$. Значит, разность $7 - \sqrt{41}$ положительна. Поэтому, $|7 - \sqrt{41}| = 7 - \sqrt{41}$.

Подставим раскрытые модули в выражение и вычислим сумму:

$(\sqrt{41} - 6) + (7 - \sqrt{41}) = \sqrt{41} - 6 + 7 - \sqrt{41} = -6 + 7 = 1$

Ответ: $1$