Номер 33, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

33 Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{7 - \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt{24}};$

б) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{7 - \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt{24}}$, воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$). Так как $7 = \sqrt{49}$, а $\sqrt{24} < \sqrt{49}$, то выражение $7 - \sqrt{24}$ положительно. Выражение $7 + \sqrt{24}$ также положительно. Таким образом, мы можем объединить множители под один корень:

$\sqrt{7 - \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{(7 - \sqrt{24})(7 + \sqrt{24})}$

Выражение в скобках под корнем является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=7$ и $y=\sqrt{24}$.

$(7 - \sqrt{24})(7 + \sqrt{24}) = 7^2 - (\sqrt{24})^2 = 49 - 24 = 25$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

б) Аналогично решим второе выражение $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}$. Сначала проверим, что подкоренные выражения неотрицательны. Для этого сравним $6$ и $2\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $6^2 = 36$ и $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. Поскольку $36 > 20$, то $6 > 2\sqrt{5}$, и выражение $6 - 2\sqrt{5}$ положительно.

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})}$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=6$ и $y=2\sqrt{5}$.

$(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 20 = 16$

Теперь вычислим корень:

$\sqrt{16} = 4$

Ответ: 4