Номер 38, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

38 Упростите выражение $\frac{(2a)^3 \cdot 4a^{-2}}{(4a^3)^2}$.

1) $2a^{-5}$;

2) $2a^{-4}$;

3) $8a^{-5}$;

4) $\frac{1}{2a^5}$.

Для упрощения выражения $ \frac{(2a)^3 \cdot 4a^{-2}}{(4a^3)^2} $ выполним последовательные преобразования, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель дроби.

Числитель представляет собой произведение $ (2a)^3 \cdot 4a^{-2} $. Сначала раскроем скобки в выражении $ (2a)^3 $, применив свойство возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $:

$ (2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3 $.

Теперь умножим полученный результат на второй множитель $ 4a^{-2} $. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием $a$, используя свойство $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ 8a^3 \cdot 4a^{-2} = (8 \cdot 4) \cdot (a^3 \cdot a^{-2}) = 32 \cdot a^{3+(-2)} = 32a^1 = 32a $.

2. Упростим знаменатель дроби.

Знаменатель дроби равен $ (4a^3)^2 $. Раскроем скобки, используя свойство возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $ и свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{mn} $:

$ (4a^3)^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 = 16 \cdot a^{3 \cdot 2} = 16a^6 $.

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель.

После упрощения числителя и знаменателя исходное выражение принимает вид:

$ \frac{32a}{16a^6} $.

Чтобы упростить эту дробь, разделим числовые коэффициенты и степени с основанием $ a $ отдельно. Для деления степеней применим свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{32}{16} \cdot \frac{a^1}{a^6} = 2 \cdot a^{1-6} = 2a^{-5} $.

Таким образом, итоговое выражение равно $ 2a^{-5} $. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $2a^{-5}$.