Номер 47, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

47 Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(x + 2x)^2 - 4x(2x + y)$;

б) $(2x - y)^2 - 2x(x - 2y)$.

а)

Чтобы преобразовать выражение $(x + 2x)^2 - 4x(2x + y)$ в многочлен стандартного вида, выполним следующие шаги.

1. Сначала упростим выражение в первых скобках:
$x + 2x = 3x$

Теперь исходное выражение принимает вид:
$(3x)^2 - 4x(2x + y)$

2. Возведем в квадрат первый член:
$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$

3. Раскроем скобки во втором члене, используя распределительный закон умножения (умножим $-4x$ на каждый член в скобках):
$-4x(2x + y) = (-4x) \cdot (2x) + (-4x) \cdot (y) = -8x^2 - 4xy$

4. Подставим полученные результаты в выражение и приведем подобные слагаемые:
$9x^2 - 8x^2 - 4xy = (9-8)x^2 - 4xy = x^2 - 4xy$

Ответ: $x^2 - 4xy$

б)

Чтобы преобразовать выражение $(2x - y)^2 - 2x(x - 2y)$ в многочлен стандартного вида, выполним следующие шаги.

1. Раскроем первую скобку, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2x$ и $b = y$:
$(2x - y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2$

2. Раскроем скобки во втором члене, умножив $-2x$ на каждый член в скобках:
$-2x(x - 2y) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-2y) = -2x^2 + 4xy$

3. Объединим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4xy + y^2) + (-2x^2 + 4xy) = 4x^2 - 4xy + y^2 - 2x^2 + 4xy$

Сгруппируем подобные члены:
$(4x^2 - 2x^2) + (-4xy + 4xy) + y^2 = 2x^2 + 0 + y^2 = 2x^2 + y^2$

Ответ: $2x^2 + y^2$