Номер 49, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

49 Укажите алгебраические дроби, тождественно равные дроби $ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

1) $ -\frac{m + 2n}{3n - 4m} $;

2) $ \frac{-m - 2n}{3n - 4m} $;

3) $ -\frac{-m - 2n}{4m - 3n} $;

4) $ \frac{-m - 2n}{4m - 3n} $.

Для того чтобы определить, какие из предложенных дробей тождественно равны исходной дроби $ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $, преобразуем каждую из них и сравним с исходной. Два алгебраических выражения называются тождественно равными, если их значения равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Будем использовать следующие свойства дробей: $ -\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} $ и $ \frac{-A}{-B} = \frac{A}{B} $.

1) Рассмотрим дробь $ -\frac{m + 2n}{3n - 4m} $.

Внесем знак "минус", стоящий перед дробью, в знаменатель:

$ -\frac{m + 2n}{3n - 4m} = \frac{m + 2n}{-(3n - 4m)} = \frac{m + 2n}{-3n + 4m} $.

Изменив порядок слагаемых в знаменателе, получаем:

$ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

Эта дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: данная дробь тождественно равна исходной.

2) Рассмотрим дробь $ \frac{-m - 2n}{3n - 4m} $.

Вынесем множитель $ -1 $ за скобки и в числителе, и в знаменателе:

$ \frac{-m - 2n}{3n - 4m} = \frac{-(m + 2n)}{-(4m - 3n)} $.

Сократим множители $ -1 $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

Эта дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: данная дробь тождественно равна исходной.

3) Рассмотрим дробь $ -\frac{-m - 2n}{4m - 3n} $.

Внесем знак "минус", стоящий перед дробью, в числитель:

$ -\frac{-m - 2n}{4m - 3n} = \frac{-(-m - 2n)}{4m - 3n} = \frac{m + 2n}{4m - 3n} $.

Эта дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: данная дробь тождественно равна исходной.

4) Рассмотрим дробь $ \frac{-m - 2n}{4m - 3n} $.

Вынесем множитель $ -1 $ за скобки в числителе:

$ \frac{-(m + 2n)}{4m - 3n} $.

Это выражение равно $ -\frac{m + 2n}{4m - 3n} $, что является противоположным исходной дроби.

Ответ: данная дробь не является тождественно равной исходной.