Номер 56, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

56 Разложите квадратный трёхчлен $-x^2 + 2x + 24$ на множители.

1) $(x + 6)(x - 4)$;

2) $(x - 6)(x + 4)$;

3) $-(x + 6)(x - 4)$;

4) $-(x - 6)(x + 4)$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$,

где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Рассмотрим заданный трёхчлен $-x^2 + 2x + 24$.

Шаг 1: Нахождение корней квадратного уравнения

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни:

$-x^2 + 2x + 24 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = -1$, $b = 2$, $c = 24$.

Для удобства решения можно умножить всё уравнение на $-1$:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ (для уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$, где $a=1, b=-2, c=-24$):

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Корни уравнения равны $6$ и $-4$.

Шаг 2: Разложение трёхчлена на множители

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$, а также старший коэффициент $a = -1$ (из исходного трёхчлена $-x^2 + 2x + 24$) в формулу разложения:

$-x^2 + 2x + 24 = a(x - x_1)(x - x_2) = -1 \cdot (x - 6)(x - (-4))$

Упрощаем полученное выражение:

$-(x - 6)(x + 4)$

Данное выражение соответствует варианту ответа №4.

Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, можно раскрыть скобки и сравнить результат с исходным выражением:

$-(x - 6)(x + 4) = -(x \cdot x + x \cdot 4 - 6 \cdot x - 6 \cdot 4) = -(x^2 + 4x - 6x - 24) = -(x^2 - 2x - 24) = -x^2 + 2x + 24$.

Результат совпал, разложение выполнено верно.

Ответ: $-(x - 6)(x + 4)$.