Номер 58, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

58 Разложите квадратный трёхчлен $-4x^2 + 5x + 6$ на множители.

1) $-4(x + 3)(x + 2);$ 3) $(4x - 3)(x + 2);$

2) $(x - 2)\left(x + \frac{3}{4}\right);$ 4) $(2 - x)(4x + 3).$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В нашем случае трёхчлен имеет вид $-4x^2 + 5x + 6$. Соответствующие коэффициенты: $a = -4$, $b = 5$, $c = 6$.

Сначала приравняем трёхчлен к нулю и найдём его корни:

$-4x^2 + 5x + 6 = 0$

Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-4)(6) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2(-4)} = \frac{-5 + 11}{-8} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2(-4)} = \frac{-5 - 11}{-8} = \frac{-16}{-8} = 2$

Теперь подставим коэффициент $a = -4$ и найденные корни $x_1 = -\frac{3}{4}$ и $x_2 = 2$ в формулу разложения:

$-4x^2 + 5x + 6 = a(x - x_1)(x - x_2) = -4(x - (-\frac{3}{4}))(x - 2) = -4(x + \frac{3}{4})(x - 2)$

Чтобы привести полученное выражение к одному из предложенных вариантов, преобразуем его. Множитель $-4$ можно представить как произведение $4 \cdot (-1)$. Распределим множитель $4$ на первую скобку, а множитель $(-1)$ — на вторую:

$-4(x + \frac{3}{4})(x - 2) = [4 \cdot (x + \frac{3}{4})] \cdot [(-1) \cdot (x - 2)] = (4x + 3)(-x + 2)$

Поменяв слагаемые во второй скобке местами, получим:

$(4x + 3)(2 - x)$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Проверка. Раскроем скобки в выражении $(2 - x)(4x + 3)$:

$(2 - x)(4x + 3) = 2 \cdot 4x + 2 \cdot 3 - x \cdot 4x - x \cdot 3 = 8x + 6 - 4x^2 - 3x = -4x^2 + 5x + 6$

Результат совпадает с исходным трёхчленом, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: 4) $(2-x)(4x+3)$