Номер 67, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

67 Сократите дробь:

а) $ \frac{x^2 + 4xy - 2x - 8y}{x^2 + 8xy + 16y^2} $

Б) $ \frac{(3a - d)^2 - (3a + d)^2}{ad} $

В) $ \frac{x^2 - 5xy + 2x - 10y}{x^2 - 10xy + 25y^2} $

Г) $ \frac{(6b + c)^2 - (6b - c)^2}{bc} $

а) $\frac{x^2 + 4xy - 2x - 8y}{x^2 + 8xy + 16y^2}$

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим числитель методом группировки:

$x^2 + 4xy - 2x - 8y = (x^2 + 4xy) - (2x + 8y) = x(x + 4y) - 2(x + 4y) = (x - 2)(x + 4y)$

Разложим знаменатель по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$x^2 + 8xy + 16y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = (x + 4y)^2$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 4y)}{(x + 4y)^2}$

Сократим общий множитель $(x + 4y)$:

$\frac{x - 2}{x + 4y}$

Ответ: $\frac{x - 2}{x + 4y}$

б) $\frac{(3a - d)^2 - (3a + d)^2}{ad}$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 3a - d$ и $B = 3a + d$.

$(3a - d)^2 - (3a + d)^2 = ((3a - d) - (3a + d)) \cdot ((3a - d) + (3a + d))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(3a - d - 3a - d) \cdot (3a - d + 3a + d) = (-2d) \cdot (6a) = -12ad$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{-12ad}{ad}$

Сократим дробь на $ad$:

$-12$

Ответ: $-12$

в) $\frac{x^2 - 5xy + 2x - 10y}{x^2 - 10xy + 25y^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим числитель методом группировки:

$x^2 - 5xy + 2x - 10y = (x^2 - 5xy) + (2x - 10y) = x(x - 5y) + 2(x - 5y) = (x + 2)(x - 5y)$

Разложим знаменатель по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$x^2 - 10xy + 25y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x - 5y)^2$

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x + 2)(x - 5y)}{(x - 5y)^2}$

Сократим общий множитель $(x - 5y)$:

$\frac{x + 2}{x - 5y}$

Ответ: $\frac{x + 2}{x - 5y}$

г) $\frac{(6b + c)^2 - (6b - c)^2}{bc}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ для упрощения числителя, где $A = 6b + c$ и $B = 6b - c$.

$(6b + c)^2 - (6b - c)^2 = ((6b + c) - (6b - c)) \cdot ((6b + c) + (6b - c))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(6b + c - 6b + c) \cdot (6b + c + 6b - c) = (2c) \cdot (12b) = 24bc$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{24bc}{bc}$

Сократим дробь на $bc$:

$24$

Ответ: $24$