Номер 68, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

68 Найдите значение выражения $(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}) : \frac{2m}{5m-5}$ при $m = \frac{1}{9}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Выполним пошагово все действия.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(m-1)(m+1)$:
$\left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right) = \frac{(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)} - \frac{(m-1)(m-1)}{(m+1)(m-1)} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)}$
Теперь упростим числитель. Можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ или раскрыть скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:
$(m+1)^2 - (m-1)^2 = (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 2m + 1) = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 2m - 1 = 4m$
Знаменатель, по формуле разности квадратов, равен $m^2 - 1$.
Таким образом, результат действия в скобках: $\frac{4m}{m^2 - 1}$.

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{4m}{m^2 - 1} : \frac{2m}{5m - 5} = \frac{4m}{m^2 - 1} \cdot \frac{5m - 5}{2m}$
Разложим знаменатели на множители для сокращения: $m^2-1 = (m-1)(m+1)$ и $5m-5 = 5(m-1)$.
$\frac{4m}{(m-1)(m+1)} \cdot \frac{5(m-1)}{2m}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Можно сократить на $2m$ (при $m \neq 0$) и на $(m-1)$ (при $m \neq 1$).
$\frac{2 \cdot \cancel{2m}}{\cancel{(m-1)}(m+1)} \cdot \frac{5\cancel{(m-1)}}{\cancel{2m}} = \frac{2 \cdot 5}{m+1} = \frac{10}{m+1}$

3. Подставим значение $m = \frac{1}{9}$ в упрощенное выражение.
$\frac{10}{m+1} = \frac{10}{\frac{1}{9} + 1}$
Сначала вычислим знаменатель:
$\frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9}$
Теперь вычислим значение всего выражения:
$\frac{10}{\frac{10}{9}} = 10 \cdot \frac{9}{10} = 9$
Ответ: 9