Страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют кубическим корнем (или корнем третьей степени) из числа $a$?

1. Кубическим корнем (или корнем третьей степени) из числа $a$ называют такое число $b$, третья степень которого (то есть результат умножения числа самого на себя трижды) равна $a$.

Математически это определение записывается следующим образом: если $\sqrt[3]{a} = b$, то это эквивалентно тому, что $b^3 = a$.

Таким образом, операция извлечения кубического корня является обратной к операции возведения в третью степень (в куб).

Важной особенностью кубического корня, в отличие от квадратного, является то, что он определен для любого действительного числа $a$, включая отрицательные числа. Для любого действительного числа $a$ существует ровно один действительный кубический корень.

Рассмотрим на примерах:

• Кубический корень из числа 8 равен 2, потому что $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Запись: $\sqrt[3]{8} = 2$.

• Кубический корень из числа -27 равен -3, потому что $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$. Запись: $\sqrt[3]{-27} = -3$.

• Кубический корень из 0 равен 0, потому что $0^3 = 0$. Запись: $\sqrt[3]{0} = 0$.

Ответ: Кубическим корнем (или корнем третьей степени) из числа $a$ называется число, третья степень которого равна $a$.

2. Объясните, почему равенство $\sqrt[3]{64} = 4$ является верным, а равенство $\sqrt[3]{9} = 2$ — неверным.

По определению, кубический корень из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[3]{a}$) — это такое число $b$, которое при возведении в третью степень даёт число $a$. То есть, равенство $\sqrt[3]{a} = b$ является верным, если выполняется условие $b^3 = a$. Проверим оба равенства, используя это определение.

Почему равенство $\sqrt[3]{64} = 4$ является верным

Чтобы проверить истинность этого равенства, необходимо возвести число $4$ в третью степень и сравнить результат с числом $64$.

Выполним проверку: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Поскольку $4^3$ действительно равно $64$, исходное равенство является верным.

Ответ: равенство $\sqrt[3]{64} = 4$ является верным, так как при проверке возведением в куб получается тождество: $4^3 = 64$.

Почему равенство $\sqrt[3]{9} = 2$ является неверным

Аналогично, чтобы проверить это равенство, нужно возвести число $2$ в третью степень и сравнить результат с числом $9$.

Выполним проверку: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Результат возведения в степень равен $8$, а не $9$. Так как $8 \neq 9$, исходное равенство является неверным.

Ответ: равенство $\sqrt[3]{9} = 2$ является неверным, так как при проверке возведением в куб получается неверное утверждение: $2^3 = 8$, а не $9$.

3. Какова область определения функции $y = \sqrt[3]{x}$?

3.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл, то есть для которых можно выполнить все указанные в формуле операции.

Рассмотрим заданную функцию $y = \sqrt[3]{x}$.

Данная функция содержит операцию извлечения кубического корня. Корень нечетной степени (где показатель корня — 3, 5, 7 и т.д.) имеет важное отличие от корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.).

Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, так как любое действительное число можно возвести в нечетную степень.
Например:
- если $x$ — положительное число, $x=8$, то $y = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
- если $x$ равно нулю, $x=0$, то $y = \sqrt[3]{0} = 0$, так как $0^3 = 0$.
- если $x$ — отрицательное число, $x=-27$, то $y = \sqrt[3]{-27} = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Таким образом, подкоренное выражение $x$ для корня нечетной степени может быть любым действительным числом. Никаких ограничений на значения $x$ не накладывается.

Ответ: Область определения функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, что записывается в виде интервала $x \in (-\infty; +\infty)$ или как $x \in \mathbb{R}$.

4. Какова область значений функции $y = \sqrt[3]{x}$?

4. Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$. Нам нужно найти область значений для функции $y = \sqrt[3]{x}$.
Для нахождения области значений (обозначается как $E(y)$) полезно сначала определить область определения функции (обозначается как $D(y)$).
Функция кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$ определена для любого действительного числа $x$, так как кубический корень можно извлечь из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, $\sqrt[3]{27} = 3$, $\sqrt[3]{-27} = -3$, $\sqrt[3]{0} = 0$. Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Теперь определим, какие значения может принимать $y$. Рассмотрим функцию, обратную данной: чтобы выразить $x$ через $y$, нужно возвести обе части уравнения $y = \sqrt[3]{x}$ в третью степень. Получим $x = y^3$.
В функции $x = y^3$ переменная $y$ может принимать абсолютно любое действительное значение от $-\infty$ до $+\infty$. Какое бы число $y$ мы ни взяли, мы всегда можем вычислить соответствующее значение $x$. Это означает, что область значений исходной функции $y = \sqrt[3]{x}$ является множеством всех действительных чисел.
Можно также проанализировать поведение функции на бесконечности:
- Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y = \sqrt[3]{x}$ также стремится к $+\infty$.
- Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y = \sqrt[3]{x}$ также стремится к $-\infty$.
Поскольку функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на всей своей области определения и ее значения не ограничены ни сверху, ни снизу, она принимает все действительные значения.
Следовательно, область значений функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

5. Является ли функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающей; убывающей; монотонной; немонотонной?

Для того чтобы определить характер монотонности функции $y = \sqrt[3]{x}$, проанализируем ее на всей области определения, которой является множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Наиболее удобный способ для этого — исследование знака ее производной.

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{1/3}$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная определена для всех $x$, кроме $x=0$.

Проанализируем знак производной. Знаменатель дроби $3\sqrt[3]{x^2}$ содержит выражение $x^2$, которое всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Следовательно, и кубический корень из него $\sqrt[3]{x^2}$ также неотрицателен. Таким образом, для любого $x \neq 0$ знаменатель $3\sqrt[3]{x^2}$ строго положителен.

Поскольку производная $y' > 0$ при всех $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Учитывая, что сама функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна в точке $x=0$, можно сделать вывод, что она является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

возрастающей:Да, функция является возрастающей на всей области определения. Это следует из того, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_2 > x_1$, всегда выполняется неравенство $\sqrt[3]{x_2} > \sqrt[3]{x_1}$.
Ответ: да.

убывающей:Нет, функция не является убывающей. Поскольку она строго возрастает на всей области определения, она не может быть убывающей.
Ответ: нет.

монотонной:Да, функция является монотонной. Монотонной называют функцию, которая на всей области определения является либо возрастающей, либо убывающей. Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, она, по определению, монотонна.
Ответ: да.

немонотонной:Нет, функция не является немонотонной. Немонотонная функция имеет участки как возрастания, так и убывания. Данная функция только возрастает.
Ответ: нет.

6. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо исследовать функцию $y = \sqrt[3]{x}$ на монотонность. Характер монотонности функции (возрастает она или убывает) можно определить по знаку её первой производной.

1. Нахождение производной

Запишем функцию в степенном виде: $y = x^{1/3}$.

Найдём её производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

2. Анализ знака производной

Производная $y'$ определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Для любого $x \neq 0$, выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, кубический корень из $x^2$, то есть $\sqrt[3]{x^2}$, также всегда положителен. Это означает, что вся дробь $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ является положительной для всех $x \neq 0$.

3. Вывод о монотонности

Поскольку производная функции $y'$ положительна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$, а сама функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна в точке $x=0$, мы можем заключить, что функция является возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

Теперь, основываясь на этом выводе, проанализируем каждое из предложенных утверждений:

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно. Как было показано, функция возрастает на всей числовой оси, в том числе и на промежутке $x \le 0$.

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$;
Это утверждение верно. Поскольку функция возрастает на всём промежутке $(-\infty, +\infty)$, она возрастает и на его частях: на промежутке $[0, +\infty)$ (что соответствует $x \ge 0$) и на промежутке $(-\infty, 0]$ (что соответствует $x \le 0$).

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно. Функция везде возрастает, а не убывает.

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$?
Это утверждение неверно. Функция возрастает и при $x \ge 0$.

Ответ: б)

7. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения характера выпуклости функции необходимо найти её вторую производную и исследовать её знак. Функция является выпуклой вверх (вогнутой), если её вторая производная отрицательна ($f''(x) < 0$), и выпуклой вниз (выпуклой), если её вторая производная положительна ($f''(x) > 0$).

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x}$. Для удобства дифференцирования запишем её в степенном виде: $y = x^{1/3}$.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

2. Находим вторую производную функции:

$y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-2/3 - 1} = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$

3. Исследуем знак второй производной $y''$ на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

• При $x > 0$:
  Если $x$ — положительное число, то $x^5$ также положительно. Кубический корень из положительного числа $\sqrt[3]{x^5}$ тоже будет положительным. Следовательно, знаменатель дроби $9\sqrt[3]{x^5}$ положителен. Так как числитель равен -2 (отрицательное число), то вся дробь $y''$ будет отрицательной ($y'' < 0$). Таким образом, на интервале $(0, \infty)$ функция выпукла вверх.
• При $x < 0$:
  Если $x$ — отрицательное число, то $x^5$ (нечетная степень) будет отрицательным. Кубический корень из отрицательного числа $\sqrt[3]{x^5}$ также будет отрицательным. Следовательно, знаменатель дроби $9\sqrt[3]{x^5}$ отрицателен. Вторая производная $y''$ представляет собой частное двух отрицательных чисел (числитель -2 и отрицательный знаменатель), что дает в результате положительное число ($y'' > 0$). Таким образом, на интервале $(-\infty, 0)$ функция выпукла вниз.

Итак, мы получили, что функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$. Сравним этот результат с предложенными вариантами ответа.

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$.
Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. Следовательно, оно является верным.

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$.
Это утверждение неверно, так как при $x < 0$ функция выпукла вниз.

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$.
Это утверждение неверно. Характер выпуклости на обоих интервалах указан в точности наоборот.

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$.
Это утверждение неверно, так как при $x > 0$ функция выпукла вверх.

Единственное верное утверждение — это утверждение под буквой а).

Ответ: а).

1 В кошельке лежит много монет по 1 р., по 2 р. и по 5 р. Случайным образом поочерёдно достают три монеты. Перечислите варианты, при которых сумма будет меньше 6 р.

По условию задачи, из кошелька, в котором много монет достоинством 1 р., 2 р. и 5 р., поочерёдно достают три монеты. Нам нужно найти все последовательности из трёх монет, сумма которых будет меньше 6 рублей.

Пусть $c_1, c_2, c_3$ — номиналы трёх извлечённых монет. Условие можно записать в виде неравенства: $c_1 + c_2 + c_3 < 6$, где каждая монета $c_i$ может быть равна 1, 2 или 5.

Сначала проанализируем возможность использования монеты в 5 рублей. Если хотя бы одна из трёх монет — 5 рублей, то наименьшая возможная сумма получится, если две другие монеты будут наименьшего номинала, то есть по 1 рублю. Сумма в этом случае составит $5 + 1 + 1 = 7$ рублей. Так как $7 \geq 6$, любая комбинация, включающая монету в 5 рублей, не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, мы должны рассматривать только варианты, состоящие из монет номиналом 1 р. и 2 р.

Теперь систематически переберём все возможные комбинации монет по 1 р. и 2 р. и найдём соответствующие им последовательности, так как порядок извлечения монет важен.

1. Если взять три монеты по 1 р., их сумма будет $1 + 1 + 1 = 3$ р. Это меньше 6 р. Существует только одна такая последовательность: (1 р., 1 р., 1 р.).

2. Если взять две монеты по 1 р. и одну монету в 2 р., их сумма будет $1 + 1 + 2 = 4$ р. Это меньше 6 р. Существуют три такие последовательности: (1 р., 1 р., 2 р.), (1 р., 2 р., 1 р.), (2 р., 1 р., 1 р.).

3. Если взять одну монету в 1 р. и две монеты по 2 р., их сумма будет $1 + 2 + 2 = 5$ р. Это меньше 6 р. Существуют три такие последовательности: (1 р., 2 р., 2 р.), (2 р., 1 р., 2 р.), (2 р., 2 р., 1 р.).

4. Если взять три монеты по 2 р., их сумма будет $2 + 2 + 2 = 6$ р. Это значение не меньше 6 р., так как условие строгое ($6 < 6$ — неверно). Этот вариант не подходит.

Объединив все найденные подходящие последовательности, получим окончательный список.

Ответ: (1 р., 1 р., 1 р.); (1 р., 1 р., 2 р.); (1 р., 2 р., 1 р.); (2 р., 1 р., 1 р.); (1 р., 2 р., 2 р.); (2 р., 1 р., 2 р.); (2 р., 2 р., 1 р.).

2 В меню 6 видов пирожков и 5 видов напитков. Сколькими способами можно выбрать два разных пирожка и два разных напитка?

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Выбор пирожков и выбор напитков — это два независимых события. Чтобы найти общее количество способов, нужно вычислить количество способов для каждого события отдельно, а затем перемножить полученные результаты.

1. Вычислим количество способов выбрать два разных пирожка из 6 предложенных видов. Поскольку порядок выбора пирожков не имеет значения (выбрать пирожок с капустой и пирожок с мясом — это то же самое, что выбрать пирожок с мясом и пирожок с капустой), мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать.

В данном случае для пирожков $n=6$ и $k=2$.
Число способов выбрать пирожки: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

2. Аналогично вычислим количество способов выбрать два разных напитка из 5 предложенных видов. Здесь также не важен порядок выбора, поэтому снова используем формулу сочетаний.

Для напитков $n=5$ и $k=2$.
Число способов выбрать напитки: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.

3. Чтобы найти общее количество способов выбрать два пирожка и два напитка, воспользуемся правилом произведения в комбинаторике: нужно перемножить число способов выбора пирожков и число способов выбора напитков.

Общее количество способов = $15 \times 10 = 150$.

Ответ: 150

3 Бросили две разноцветные игральные кости. В скольких случаях выпавшие очки будут отличаться менее чем на 2?

Пусть $x$ – это количество очков, выпавшее на первой кости, а $y$ – на второй. Поскольку игральные кости разноцветные, то исход (например, 1 на первой и 2 на второй) отличается от исхода (2 на первой и 1 на второй). То есть, пары $(x, y)$ и $(y, x)$ считаются различными, если $x \neq y$.

На каждой кости может выпасть число от 1 до 6. Общее количество всех возможных исходов при бросании двух костей равно $6 \times 6 = 36$.

По условию задачи, нам нужно найти количество случаев, в которых выпавшие очки будут отличаться менее чем на 2. Математически это условие можно записать в виде неравенства с модулем: $|x - y| < 2$

Это неравенство выполняется, если абсолютная разница между $x$ и $y$ равна 0 или 1. Рассмотрим оба этих случая.

1. Разница равна 0 ($|x - y| = 0$).
Это означает, что на обеих костях выпало одинаковое число очков ($x = y$). Такими комбинациями являются: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
Всего таких случаев: 6.

2. Разница равна 1 ($|x - y| = 1$).
Это означает, что очки на костях отличаются на единицу. Перечислим все такие пары: (1, 2), (2, 1)
(2, 3), (3, 2)
(3, 4), (4, 3)
(4, 5), (5, 4)
(5, 6), (6, 5)
Всего таких случаев: 10.

Чтобы найти общее количество случаев, удовлетворяющих заданному условию, нужно сложить количество случаев из первого и второго пунктов: $6 + 10 = 16$.

Ответ: 16

4 Какова вероятность того, что у случайным образом выбранного двузначного числа сумма цифр будет больше 15?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = m/n$, где $n$ — это общее количество всех равновозможных исходов, а $m$ — количество исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее количество возможных исходов, то есть общее число двузначных чисел. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99. Их общее количество ($n$) можно рассчитать так: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.

2. Теперь найдем количество благоприятных исходов ($m$), то есть число двузначных чисел, у которых сумма цифр больше 15. Максимально возможная сумма цифр двузначного числа — это $9 + 9 = 18$. Следовательно, нас интересуют числа, у которых сумма цифр равна 16, 17 или 18.

Перечислим эти числа:

- Сумма цифр равна 16: $7+9=16$ (число 79), $8+8=16$ (число 88), $9+7=16$ (число 97). Всего 3 числа.

- Сумма цифр равна 17: $8+9=17$ (число 89), $9+8=17$ (число 98). Всего 2 числа.

- Сумма цифр равна 18: $9+9=18$ (число 99). Всего 1 число.

Сложив количество найденных чисел, получим общее число благоприятных исходов: $m = 3 + 2 + 1 = 6$.

3. Рассчитаем вероятность. Подставим значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = m/n = 6/90$

Сократим полученную дробь на 6:

$P = 1/15$

Ответ: $1/15$.