Номер 21.7, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

21.7 а) Сколько чисел, начинающихся с цифры 4, находится среди первых 17 натуральных чисел?

б) Какова частота чисел, начинающихся с цифры 4, среди первых 17 натуральных чисел?

в) Заполните таблицу появления чисел, начинающихся с цифры 4, среди первых $n$ натуральных чисел:

г) Наблюдается ли тут статистическая устойчивость? В каких пределах меняется частота с увеличением $n$?

а) Среди первых 17 натуральных чисел (от 1 до 17) только одно число начинается с цифры 4 — это само число 4.

Ответ: 1 число.

б) Частота события — это отношение количества исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов. В данном случае событие — это «число начинается с цифры 4». Количество таких чисел среди первых 17 равно 1. Общее количество чисел равно 17. Следовательно, частота равна $1/17$.

Ответ: Частота равна $1/17 \approx 0.059$.

в) Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения $n$ подсчитать количество чисел, начинающихся с цифры 4, в диапазоне от 1 до $n$, а затем найти частоту, разделив это количество на $n$.
Методика подсчета количества чисел, начинающихся с цифры 4 (обозначим $K(n)$):

• Однозначные числа: 4 (1 число).
• Двузначные числа: 40–49 (10 чисел).
• Трехзначные числа: 400–499 (100 чисел).
• Четырехзначные числа: 4000–4999 (1000 чисел), и так далее.

Например, для $n=57$:
$K(57) = (\text{число 4}) + (\text{числа от 40 до 49}) = 1 + 10 = 11$.
Частота $F(57) = K(57)/57 = 11/57$.

Для $n=4000$:
$K(4000) = (\text{число 4}) + (\text{числа 40-49}) + (\text{числа 400-499}) + (\text{число 4000}) = 1 + 10 + 100 + 1 = 112$.
Частота $F(4000) = 112/4000 = 0.028$.

Расчеты для всех значений $n$ сведены в таблицу.

Ответ:

г) Статистическая устойчивость предполагает, что с увеличением числа испытаний (в данном случае, с ростом $n$) частота события стабилизируется, то есть колеблется около некоторого постоянного значения.
Из таблицы видно, что частота не стабилизируется. Она значительно колеблется: например, при переходе от $n=100$ к $n=400$ частота падает с 0.11 до 0.03, а при переходе от $n=400$ к $n=500$ резко возрастает с 0.03 до 0.222. Такое поведение наблюдается и при больших $n$. Следовательно, статистическая устойчивость в данном случае не наблюдается.

Частота меняется в определенных пределах.

• Когда $n$ проходит через интервалы, где нет чисел, начинающихся с 4 (например, от 500 до 3999), количество таких чисел ($K(n)$) постоянно, а $n$ растет, поэтому частота $K(n)/n$ уменьшается. Локальные минимумы достигаются при $n$, близких к $4 \cdot 10^k$ (например, $n=39, 399, 3999, \dots$). При очень больших $n$ эти минимальные значения приближаются к $1/36 \approx 0.0278$.
• Когда $n$ проходит через интервалы, где все числа начинаются с 4 (например, от 400 до 499), частота резко возрастает. Локальные максимумы достигаются при $n$, близких к $5 \cdot 10^k$ (например, $n=49, 499, 4999, \dots$). При очень больших $n$ эти максимальные значения приближаются к $2/9 \approx 0.2222$.

Таким образом, частота не стремится к одному числу, а колеблется. Наибольшее значение частоты равно 0.25 (при $n=4$), а наименьшее — 0 (при $n<4$). С ростом $n$ колебания происходят в основном в диапазоне, границы которого приближаются к $1/36$ и $2/9$.

Ответ: Статистическая устойчивость не наблюдается. Частота колеблется, и при больших $n$ ее значения находятся преимущественно в пределах от $1/36 \approx 0.0278$ до $2/9 \approx 0.2222$.