Номер 21.6, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

21.6 а) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 4, находится среди первых 17 натуральных чисел?

б) Какова частота чисел, оканчивающихся на 4, среди первых 17 натуральных чисел?

в) Заполните таблицу появления чисел, оканчивающихся цифрой 4, среди первых $n$ натуральных чисел:

г) К какому числу приближается частота с увеличением $n$?

а)

Среди первых 17 натуральных чисел (от 1 до 17) необходимо найти все числа, последняя цифра которых равна 4. Выпишем эти числа: 4, 14. Всего таких чисел два.

Ответ: 2

б)

Частота события — это отношение количества случаев, в которых это событие произошло, к общему числу испытаний. В данном случае событие — это выбор числа, оканчивающегося на 4, из первых 17 натуральных чисел. Количество таких чисел, как мы выяснили в пункте а), равно 2. Общее количество чисел (испытаний) равно 17. Следовательно, искомая частота равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Частота = $\frac{2}{17}$

Ответ: $\frac{2}{17}$

в)

Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения $n$ определить количество $k$ натуральных чисел от 1 до $n$, оканчивающихся на 4, и вычислить частоту этого события как отношение $\frac{k}{n}$. Числа, оканчивающиеся на 4, образуют последовательность: 4, 14, 24, 34, ... . Количество таких чисел $k$ в диапазоне от 1 до $n$ можно найти по формуле $k = \lfloor \frac{n-4}{10} \rfloor + 1$ для $n \ge 4$. Результаты вычислений приведены в таблице.

Ответ: Таблица заполнена выше.

г)

Чтобы определить, к какому числу приближается частота с увеличением $n$, нужно найти предел частоты при $n \to \infty$. Частота определяется как $\frac{k(n)}{n}$, где $k(n)$ — количество чисел, оканчивающихся на 4, среди первых $n$ натуральных чисел.

Как мы установили, $k(n) = \lfloor \frac{n-4}{10} \rfloor + 1$. Для любого действительного числа $x$ справедливо двойное неравенство: $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Применим его к нашему выражению для $k(n)$:

$(\frac{n-4}{10} - 1) + 1 < k(n) \le \frac{n-4}{10} + 1$

$\frac{n-4}{10} < k(n) \le \frac{n+6}{10}$

Разделим все части неравенства на $n$ (поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$):

$\frac{n-4}{10n} < \frac{k(n)}{n} \le \frac{n+6}{10n}$

$\frac{1}{10} - \frac{4}{10n} < \frac{k(n)}{n} \le \frac{1}{10} + \frac{6}{10n}$

При $n \to \infty$ величины $\frac{4}{10n}$ и $\frac{6}{10n}$ стремятся к нулю. Таким образом, и левая, и правая части неравенства стремятся к $\frac{1}{10}$. По теореме о сжатии (о двух милиционерах), предел частоты, находящейся между ними, также равен $\frac{1}{10}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{k(n)}{n} = \frac{1}{10} = 0,1$

Интуитивно это можно объяснить так: поскольку существует 10 цифр (0, 1, ..., 9), которые могут быть последней цифрой натурального числа, и их появление равновероятно, то доля чисел, оканчивающихся на конкретную цифру (например, 4), будет составлять примерно одну десятую от общего количества.

Ответ: 0,1